3本の中線の長さの2乗の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中線の長さといえば中線定理: 辺 $a$ への中線 $m_a$ は

$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$。

同じ式を $m_b,m_c$ にも書いて、3本まとめて足す。$a^2,b^2,c^2$ それぞれの係数を数えると $\frac{-1+2+2}{4}=\frac{3}{4}$ — 対称に足すと係数がそろう、という対称式の気持ちよさがこの問題の中身だ。

① 各中線を辺で表す。 $$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.$$ ② 足し合わせる。 分子で $a^2$ の係数は $-1+2+2=3$、$b^2$ も $2-1+2=3$、$c^2$ も $2+2-1=3$。よって $$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3a^2+3b^2+3c^2}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).$$

まとめ 中線定理で各中線の $2$ 乗を辺で表し、$3$ つ足すと各辺の係数が $3$ にそろい $\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$。中線定理と計量の融合。対称性で係数がそろうのが味。

発展 — 一歩先へ。 3本の中線は、それ自身を3辺とする三角形(中線三角形)を作れて、その面積は元の $\frac{3}{4}$ 倍 — 本問の「平方和も $\frac{3}{4}$ 倍」と同じ係数が現れるのは偶然ではない(中線三角形は元の三角形の $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍の相似…ではなく、面積比 $\frac{3}{4}$ のアフィン像)。「中線で三角形を作る」操作を2回続けると元の $\frac{9}{16}$ 倍の相似形に戻る、という小さな驚きも待っている。

別解

重心を原点にとるベクトルで(中線の正体が見える)。 3頂点の位置ベクトルを、重心が原点になるように取る($\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$)。

$\mathrm{BC}$ の中点は $\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}=-\frac{\vec{A}}{2}$ だから、中線ベクトルは

$$\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}-\vec{A}=-\frac{3}{2}\vec{A}⟹m_a=\frac{3}{2}|\vec{A}|$$

— 中線の長さは「重心から頂点までの距離」のちょうど $\frac{3}{2}$ 倍(重心が中線を $2:1$ に分ける事実の言い換え)。よって

$$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{9}{4}\left(|\vec{A}{|}^2+|\vec{B}{|}^2+|\vec{C}{|}^2\right)$$

一方、$\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$ の2乗から $\sum \vec{A}\cdot \vec{B}=-\frac{1}{2}\sum |\vec{A}{|}^2$ で、辺の平方和は $\sum a^2=\sum |\vec{B}-\vec{C}{|}^2=3\sum |\vec{A}{|}^2$。2つを見比べて

$$\sum m^2=\frac{9}{4}\cdot \frac{\sum a^2}{3}=\frac{3}{4}\sum a^2$$

中線定理×3(本解)は手堅い足し算、重心原点は「$\frac{3}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2÷3$」という係数の出どころまで見せてくれる。