角の二等分線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 角の二等分線の長さ $AD$。専用の公式を覚えていなくても、面積の関係で鮮やかに求まる。

点 $D$ が辺 $BC$ 上にあるので、$△ABC=△ABD+△ACD$ という「全体=部分の和」が成り立つ。

3つの面積をすべて「2辺と間の角」の公式で書くと、どの式にも $\sin$ が入り、未知数 $AD$ の1次方程式になる。二等分だから角は $60^{\circ }$ ずつ、が効き目の中心だ。

$AD$ は $\angle A=120^{\circ }$ の二等分線なので

$$\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$$

面積の関係を立てる。 点 $D$ は辺 $BC$ 上にあるので、大きい三角形は2つの小さい三角形にちょうど分かれる。

$$△ABC=△ABD+△ACD$$

それぞれを面積公式で表す。狙いは、3つの式すべてに頂点 $A$ まわりの角($120^{\circ }$ か $60^{\circ }$)を使うこと。そうすれば未知数は $AD$ だけになる。

$$△ABC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\times 6\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$

$$△ABD=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 6\times AD\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}AD$$

$$△ACD=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 4\times AD\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}AD$$

$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、値はすべて同じ $\frac{\sqrt{3}}{2}$。計算が軽いのも、この解法の利点だ。

方程式を解く。

$$6\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}AD+\sqrt{3}AD=\frac{5\sqrt{3}}{2}AD$$

両辺を $\sqrt{3}$ で割って

$$6=\frac{5}{2}AD\text{よって}AD=\frac{12}{5}$$

まとめ:『長さを直接測る道具がなければ、面積を経由して間接的に測る』。内接円の半径($S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$)と同じ発想が、ここでも働いている。

発展 — 一歩先へ。 「全体=部分の和」で長さを取り出す面積の方法は、二等分線に限らず使える汎用の手だ。内接円の半径($S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$)も、三角形を3つに割った面積の和から来ている。

今回の面積の式を文字のまま整理すると、二等分線の長さの公式 $AD=\frac{2AB\cdot AC\cos \frac{A}{2}}{AB+AC}$ が導ける。公式を暗記するより、この導き方を1度手を動かして通っておくほうが、忘れても復元できるぶん強い。

別解

座標を置いて、成分計算で押し切る方法もある(数学IIの先取りだが、使う道具は三平方だけだ)。

$A$ を原点、$B$ を $(6,0)$ に置く。$\angle A=120^{\circ }$ だから、$C$ は $A$ から $120^{\circ }$ 方向に距離 $4$ の点で

$$C=(4\cos 120^{\circ },4\sin 120^{\circ })=(-2,2\sqrt{3})$$

$D$ は $BC$ 上にあり、角の二等分線の性質(数学Aで学ぶ $BD:DC=AB:AC$)から $BD:DC=6:4=3:2$。内分の計算で

$$D=\left(\frac{2\times 6+3\times (-2)}{5},\frac{2\times 0+3\times 2\sqrt{3}}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\frac{6\sqrt{3}}{5}\right)$$

あとは原点からの距離で $AD=\sqrt{{\left(\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(\frac{6\sqrt{3}}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}$。

図形の性質を知っていれば座標で機械化できる、という見本だ。面積の方法と答えが一致することが、そのまま検算になる。