円に内接する四角形の角と面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 標準問題と同じ骨組みで攻める。

対角線で割って $B{D}^2$ を $2$ 通りに表し、内接条件で $\cos$ が符号違いになることを使う。

完成版では面積も聞かれる。だが $2$ つの三角形の面積の和は、同じ $\sin A$ でまとめられる。

骨組みを再利用して部品を増やす、という構えだ。

(1) 円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ なので $\angle BCD=180^{\circ }-A$ だ。

$△ABD$ で余弦定理より

$$B{D}^2=A{B}^2+D{A}^2-2\cdot AB\cdot DA\cos A=1+16-8\cos A=17-8\cos A$$

$△CBD$ では、$\cos (180^{\circ }-A)=-\cos A$ より

$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cos (180^{\circ }-A)=4+9+12\cos A=13+12\cos A$$

$-2\cdot 2\cdot 3\cdot (-\cos A)=+12\cos A$。マイナス同士の打ち消しで符号が変わるこの箇所が、この型で最も間違えやすい。両者は同じ対角線の2乗なので等しいとおけて

$$17-8\cos A=13+12\cos A\text{よって}20\cos A=4\text{すなわち}\cos A=\frac{1}{5}$$

$\cos A$ がきれいな角(60°など)にならないが、それでいい。続きの計算は $\cos$ の値のまま進められる。

(2) 面積公式に必要なのは $\sin$ なので、相互関係で乗りかえる。$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $\sin A>0$ なので

$$\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$

四角形を対角線 $BD$ で分割する。ここで $\sin \angle BCD=\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$。$\cos$ とちがって $\sin$ は補角で値が変わらないので、2つの三角形の面積が同じ $\sin A$ でくくれる。

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DA\sin A+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\sin A=\frac{1}{2}(1\times 4+2\times 3)\sin A=5\sin A$$

よって

$$S=5\times \frac{2\sqrt{6}}{5}=2\sqrt{6}$$

振り返り。 この型の設計を一段高いところから眺めると、すべてが補角の公式の非対称に乗っている。$\cos (180^{\circ }-A)=-\cos A$(反転する)から $B{D}^2$ の2式が異なる式になって方程式が立ち、$\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$(変わらない)から面積の2項が同じ $\sin A$ でまとまる。『円に内接する四角形を見たら、対角線 + 補角の公式』。型として頭に入れておけば、入試でも初動が迷わない。

発展 — 一歩先へ。 ふつうの四角形は、$4$ 辺の長さを決めてもまだ形が定まらない。関節のようにぐにゃぐにゃ動き、面積も変わる。

ところが「円に内接する」という条件を一つ足すと、向かい合う角の和が $180^{\circ }$ に固定され、形がただ一つに決まる。三角形が $3$ 辺で決まる(合同)のと同じことが、四角形では「$4$ 辺 $+$ 円に内接」で起こる。本解で $\cos A$ が一つの値に定まったのは、この一意性の現れだ。

さらに強いことも言える。$4$ 辺の長さを固定したとき、面積が最大になるのは円に内接する形のときだ。だから $1,2,3,4$ を辺にもつ四角形の面積は、どう変形しても $2\sqrt{6}$ を超えない。

別解

別解 — ブラーマグプタの公式で面積を直接出すルート(得意な人向けの高い視点)。 円に内接する四角形の面積には、$4$ 辺だけで書ける専用公式がある。

$4$ 辺を $a,b,c,d$、$s=\frac{a+b+c+d}{2}$ とすると、面積は $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$。三角形のヘロンの公式の、四角形版だ。

いま $a,b,c,d=1,2,3,4$ だから $s=\frac{1+2+3+4}{2}=5$。

$$S=\sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}=\sqrt{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.$$

対角線を引かなくても面積が出た。この公式は、じつは本解の「対角線 $BD$ で $2$ つに分け、内接条件で $\cos$ を消す」計算を一般化して整えたもの。内部には $\cos A=\frac{1}{5}$ が織り込まれている。だから本解と同じ $S=2\sqrt{6}$ になる。