三角比の相互関係(tan から sin・cos)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\tan$ から出発するときの相互関係は

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

(${\sin }^2+{\cos }^2=1$ の両辺を ${\cos }^2\theta$ で割った形。)

$\tan \theta =2$ を代入すると $1+4=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$、つまり ${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$。

鋭角なので $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$(有理化)。$\sin \theta$ は $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ から $\sin \theta =2\cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

まず $\cos \theta$。 これに $\tan \theta =2$ を入れる。

$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+2^2=5\text{よって}{\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$$

右辺が ${\cos }^2\theta$ ではなく、その逆数になっている点に注意。ここを取りちがえると ${\cos }^2\theta =5$ という変な値が出る。$\cos$ は $1$ 以下のはず、という感覚があればミスに気づける。$\theta$ は鋭角なので $\cos \theta >0$。有理化して

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

次に $\sin \theta$。 $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ を変形した $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta$ を使う。

$$\sin \theta =2\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

検算: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$。ちゃんと成り立つ。

イメージでも確かめられる。底辺 $1$、高さ $2$ の直角三角形なら斜辺は $\sqrt{5}$。そこから $\tan \theta =2$、$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$ が読み取れる。公式で出した値と絵が一致する。

発展 — 一歩先へ。 $\tan \theta =2$ という値は、傾き $2$ の直線が $x$ 軸となす角でもある。$y=2x$ の直線を描けば、$x$ 軸との角が $\theta$ — $\tan$ は「傾き」の別名だ($\theta \approx 63.4^{\circ }$)。図形と方程式(数II)で「$2$ 直線のなす角」を $\tan$ で求めるのは、この対応が理由である。

$3$ つの相互関係(${\sin }^2+{\cos }^2=1$、$\tan =\frac{\sin }{\cos }$、$1+{\tan }^2=\frac{1}{{\cos }^2}$)のうち、独立なのは最初の $2$ つだけ — $3$ つ目は前 $2$ つから導ける。覚える公式は少ないほどよい、という原則からすると、$3$ つ目は「導ける便利式」として扱えば十分だ。

別解

ここでも三角形を描くルートが速い。公式を $1$ つも使わずに済む。

$\tan \theta =2=\frac{2}{1}$ とは「対辺 $2$、隣辺 $1$」の直角三角形のこと。

斜辺は三平方で

$$\text{斜辺}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

$3$ 辺が $1,2,\sqrt{5}$ と揃った。定義から読むだけだ。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

公式 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ を覚えていなくても解ける — 三角形を描けば、必要な情報は全部そこにある。

しかもこの絵は、公式の意味まで教えてくれる。斜辺の $2$ 乗は $1+{\tan }^2\theta$($=1+4=5$)で、$\cos \theta =\frac{1}{\text{斜辺}}$ だから

$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\text{斜辺}}^2=1+{\tan }^2\theta$$

公式は、この三角形の三平方の定理を書き直しただけだったのだ。

検算も忘れずに。${\sin }^2+{\cos }^2=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ ✓、$\frac{\sin }{\cos }=2$ ✓ — $2$ つの関係が両方成り立てば、まず間違いない。