トレミーの定理と正三角形(PA=PB+PC)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{C}$ が同一円周上にある(円に内接する四角形 $\mathrm{ABPC}$)。円に内接する四角形といえばトレミーの定理だ。

トレミーの定理は「対角線の積 $=$ 向かい合う辺の積の和」。四角形 $\mathrm{ABPC}$ の対角線は $\mathrm{PA}$ と $\mathrm{BC}$。

$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{BC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{AC}+\mathrm{PC}\cdot \mathrm{AB}$。正三角形だから $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$。共通の辺の長さで割れば $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が出る。

① 四角形をとらえる。 $\mathrm{P}$ は弧 $\mathrm{BC}$ 上にあるから、$\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{C}$ の順に並び、$4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{C}$ は円に内接する四角形をなす。対角線は $\mathrm{AP}$ と $\mathrm{BC}$。

② トレミーの定理を書く。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{BC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{AC}+\mathrm{PC}\cdot \mathrm{AB}$$

③ 正三角形の等長性を使う。 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=\ell$(共通の辺の長さ)とおくと、両辺を $\ell$ で割って

$$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$$

(証明終)

まとめ:「円周上の点からの距離の和」はトレミーの定理の出番。正三角形(辺がすべて等しい)だと、辺の長さがきれいに約分されて $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ という美しい形になる。$4$ 点が同一円周上にある、という気づきがすべての出発点。

発展 — 一歩先へ。 トレミーの定理は、円に内接する四角形で「対角線の積 $=$ 対辺の積の和」。内接しない一般の四角形では $\le$ の不等式(トレミーの不等式)になり、等号は内接するとき。$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ という美しい関係は、正三角形と円という対称性が生む特別なケースだ。

別解

別解 — 点 $\mathrm{P}$ を角度でおいて正弦定理で示す(計算で確かめるルート)。 外接円の半径を $R$、弧の位置を角度で表す。円周角の定理を使うと、弦の長さは対する円周角の $\sin$ で書ける。

$\mathrm{P}$ が弧 $\mathrm{BC}$ 上にあるとき、$\angle \mathrm{BPC}=120°$($\angle \mathrm{BAC}=60°$ の補角、内接四角形)。$\angle \mathrm{BPA}=\angle \mathrm{CPA}$ ではなく、$\mathrm{PB},\mathrm{PC}$ を $\mathrm{P}$ での角 $\theta ,60°-\theta$… と設定する。

弦の長さの公式(円周角 $\phi$ に対する弦 $=2R\sin \phi$)で、$\mathrm{PA},\mathrm{PB},\mathrm{PC}$ をそれぞれ $\sin$ で表す。すると $\mathrm{PA}=2R\sin 60°$ に対応する角の関係から、和積の公式で $\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=\mathrm{PA}$ が出る。

トレミー(本解)は $1$ 行で鮮やかだが、$\mathrm{P}$ を角度でパラメータ表示して正弦定理で押すと、$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が「$\sin$ の和積」に翻訳される。トレミーの定理自体、この正弦定理の計算から証明できる。