鈍角の三角比(拡張された定義)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 鈍角の三角比は、補角の公式で鋭角に翻訳する。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

$\sin$ だけ符号がそのまま、$\cos$ と $\tan$ はマイナスが付く — ここが急所だ。

(1) $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ なので $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$(正のまま)。

(2) $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ なので $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(マイナスが付く)。

$180^{\circ }-\theta$ の公式で、鋭角の三角比に直して求める。

(1) $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ なので

$$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(2) $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ なので

$$\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

(3) $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$ なので

$$\tan 150^{\circ }=-\tan 30^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

公式だけでなく、符号を図で確かめておく。$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$(鈍角)では、半円上の点は左上にある。$x$ 座標が負だから $\cos \theta <0$、$\tan \theta <0$。$y$ 座標は正だから $\sin \theta >0$。

まとめ:『鈍角で負になるのは $\cos$ と $\tan$。$\sin$ は正のまま』。この符号の地図が頭にあれば、マイナスのつけ場所をまちがえても自分で気づける。

発展 — 一歩先へ。 なぜ三角比を鈍角まで拡張するのか — 三角形の内角には鈍角がありうるからだ。鈍角三角形で余弦定理や正弦定理を使うには、$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ のような値が必要になる。定義を「直角三角形の辺の比」から「単位円の座標」へ広げたことで、$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ のすべての角が扱えるようになった。

数IIではさらに広げて、$360^{\circ }$ を超える角や負の角も扱う(そこでは「三角関数」と呼ばれる)。定義を広げても、既に知っている値は変わらない — 拡張は、古い知識を壊さずに新しい範囲を足す作業なのだ。数の世界を負・分数・無理数・複素数と広げてきたのと同じ精神である。

別解

符号の規則を丸暗記せず、単位円で毎回導けるようにしよう。

半径 $1$ の円で、$x$ 軸から角 $\theta$ だけ回った点 $\mathrm{P}$ をとる。このとき

$$\cos \theta =\mathrm{P}\text{の}x\text{座標},\sin \theta =\mathrm{P}\text{の}y\text{座標}$$

これが三角比の拡張された定義だ。あとは座標の符号を見るだけ。

$\theta =120^{\circ }$ の点は、円の左上(第 $2$ 象限)にいる。

• $y$ 座標(高さ)は正 → $\sin 120^{\circ }>0$ ✓ 値は $60^{\circ }$ の点と同じ高さ($\frac{\sqrt{3}}{2}$)
• $x$ 座標(横)は負 → $\cos 120^{\circ }<0$

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ までは、点は円の上半分にいる — だから $y$ 座標($\sin$)は常に $0$ 以上。「$\sin 120^{\circ }$ にマイナスを付ける」という誤りは、この一言で防げる。

一方 $x$ 座標($\cos$)は、$90^{\circ }$ を境に正から負へ変わる。$\tan =\frac{\sin }{\cos }$ は、$\sin$ が正・$\cos$ が負の鈍角では必ず負になる。

$$\tan 150^{\circ }=\frac{\sin 150^{\circ }}{\cos 150^{\circ }}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

単位円の絵 $1$ 枚で、$3$ つの公式の符号がすべて説明できる — 暗記でなく、絵を描いて確かめる習慣を持ちたい。この単位円の見方は、数IIの三角関数でそのまま主役になる。