数学I / 図形と計量

sinθ+cosθ の値から各三角比を決定

★★★ 応用相互関係対称式

問題

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で

$sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$

であるとき、次の値を求めよ。

(1) $sin θ cos θ$

(2) $sin θ - cos θ$

(3) $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$

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和 → 積 → 差 → 個別、と対称式をたどる。山場は差の符号決定。積が負とわかったことと、この範囲で $sin$ が動く向き、この2つを重ねると $cos$ の符号まで絞れる。

解答・解説

方針

$sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ という1本の式から、 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ をすべて確定させる問題だ。段取りはこうなる。

(1)2乗して積 $sin θ cos θ$ を出す。(2)差 $sin θ - cos θ$ を出す。(3)和と差を連立すれば、足して $sin$ 、引いて $cos$ が個別に取り出せる。

山場は(2)の符号決定だ。 $(sin θ - cos θ)^{2}$ の平方根には $\pm$ の2択が出る。でも(1)で積が負とわかること、 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で $sin θ ≧ 0$ であることを組み合わせると、 $cos θ$ の符号まで決まって2択が1つに絞れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1$ 本の式から $3$ つの値をすべて確定させる。段取りの設計が主役だ。

まず和を $2$ 乗して積を出す。ここで隠れた式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使う。

和と積が分かれば $2$ 数を復元できる。これは対称式の定跡だ。

そこへ「積が負だから $cos$ のほうが負」という符号の推理が加わる。

公式三角比の相互関係

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

(1) $sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ の両辺を2乗して、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使うと

$1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25} よって sin θ cos θ = \frac{1}{2} (\frac{1}{25} - 1) = - \frac{12}{25}$

積が負。この符号は後で効いてくるので覚えておく。

(2) 差を直接求めることはできないので、まず2乗の値を計算する。和の2乗との違いは、中央の項の符号だけだ。

$(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$

よって $sin θ - cos θ = \pm \frac{7}{5}$ 。ここで安易に正を選んではいけない。根拠を積み上げて符号を決める。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ では $sin θ ≧ 0$ だ。(1)より $sin θ cos θ < 0$ 、つまり2つは異符号なので、 $sin θ > 0$ かつ $cos θ < 0$ と決まる。したがって $sin θ - cos θ$ は(正) $-$ (負)で正だ。

$sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$

(3) 和と差を連立する。

$sin θ + cos θ = \frac{1}{5}, sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$

辺々加えて $2 sin θ = \frac{8}{5}$ より $sin θ = \frac{4}{5}$ 。辺々引いて $2 cos θ = - \frac{6}{5}$ より $cos θ = - \frac{3}{5}$ 。

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{4}{5} \div (- \frac{3}{5}) = - \frac{4}{3}$

検算: $sin^{2} θ + cos^{2} θ = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ ✓、 $sin θ cos θ = - \frac{12}{25}$ ✓

振り返り。 『和 → (2乗して)積 → 差 → 連立で個別の値』という流れは、対称式から元の2数を復元する定番の道すじだ。計算はほぼ機械的に進むが、唯一頭を使うのが(2)の符号決定。そしてそこで効くのは計算ではなく、『この範囲では $sin$ は負にならない』という定義域の知識だった。難しい問題ほど、最後の分岐を決めるのは基本事項だ。

発展 — 一歩先へ。 そもそも和 $sin θ + cos θ$ を $1$ つ決めるだけで、なぜ積や差まで芋づる式に決まるのか。

理由は、 $sin θ$ と $cos θ$ が独立ではなく、たった $1$ つの角 $θ$ で同時に決まるからだ。この拘束が $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、すなわち単位円の方程式そのもの。だから和を $s$ とおくと、積は必ず $\frac{s ^{2} - 1}{2}$ に定まり、差の $2$ 乗も $2 - s^{2}$ と決まってしまう。

合成すると $sin θ + cos θ = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})$ だから、和が取れる値は $∣ sin θ + cos θ ∣ \leq 2$ に限られる。今回の $\frac{1}{5}$ はこの幅の中に収まっており、解がちゃんと存在することも同時に分かる。

答

(1) $- \frac{12}{25}$ (2) $\frac{7}{5}$ (3) $sin θ = \frac{4}{5}$ 、 $cos θ = - \frac{3}{5}$ 、 $tan θ = - \frac{4}{3}$

別解

別解 — 単位円と直線 $x + y = \frac{1}{5}$ の交点として一気に求めるルート(視覚で捉える)。 $x = cos θ$ 、 $y = sin θ$ とおくと、点 $(x, y)$ は単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の上にあり、条件 $sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ は直線 $x + y = \frac{1}{5}$ を表す。

求めるのは、この円と直線の交点だ。 $y = \frac{1}{5} - x$ を円の式に代入する。

$x^{2} + (\frac{1}{5} - x)^{2} = 1 ⟹ 25 x^{2} - 5 x - 12 = 0 ⟹ (5 x + 3) (5 x - 4) = 0.$

よって $x = - \frac{3}{5}$ または $x = \frac{4}{5}$ 。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $sin θ \geq 0$ 、すなわち $y = \frac{1}{5} - x \geq 0$ が要る。これを満たすのは $x = - \frac{3}{5}$ のほうだけだ。

このとき $cos θ = - \frac{3}{5}$ 、 $sin θ = \frac{4}{5}$ 、 $tan θ = - \frac{4}{3}$ 。差 $sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$ もその場で読める。和と積を行き来する本解と、同じ結論に着く。

ポイント

和 → 2乗して積、積 → $(差)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ$ で差、と対称式の道具でつなぐ
差の符号は「 $sin θ ≧ 0$ と積の符号」から論理的に決定する(勘で選ばない)
和と差がそろえば、加減して $sin θ, cos θ$ が個別に取り出せる

よくある間違い

$(sin θ - cos θ)^{2} = \frac{49}{25}$ から $\pm \frac{7}{5}$ を出したところで、根拠を示さず正の側を選んでしまう。
符号を決める段で $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ の範囲を使わず、 $sin θ < 0$ の場合まで延々と調べ続けて時間を失う。
和と差を連立するとき、足して $sin$ ・引いて $cos$ の対応を取り違え、 $sin θ = - \frac{3}{5}$ などとする。