30°・45°・60° の三角比の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ の値は、三角定規 $2$ 枚から読み取れる。

• $45^{\circ }$ の定規($1:1:\sqrt{2}$): $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $30^{\circ }$–$60^{\circ }$ の定規($1:\sqrt{3}:2$): $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$、$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

値を代入して計算するだけだが、$\sin$ と $\cos$ の取り違えが最頻ミス。定規の絵を描いて、対辺・隣辺を確認してから代入したい。

(1) 値をそのまま入れる。

$$\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

$\sin 30^{\circ }$ と $\cos 30^{\circ }$ の取りちがえが定番のミス。『$30^{\circ }$ は低い角。だから高さの割合 $\sin$ は小さくて $\frac{1}{2}$』と、意味で覚えると混ざらない。

(2) $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ を入れる。

$$\tan 30^{\circ }\tan 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \sqrt{3}=1$$

きれいに $1$ になったのは偶然ではない。$30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$ の2角では、$\tan$ の積はいつも $1$ になる。

(3) $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので

$$(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }{)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

まとめ:別のやり方もある。展開して ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=1$ と $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }=1$ を使えば、$1+1=2$ だ。

発展 — 一歩先へ。 三角比の値の暗記は「定規の絵から読む」が最も確実だが、表として整理するとパターンが見える。$\sin$ の値を $0^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ で並べると

$$\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$$

分子の根号の中が $0,1,2,3,4$ と並ぶ — 美しい規則だ($\cos$ は逆順)。この覚え方なら、$5$ つの値を $1$ つの規則で再現できる。

$45^{\circ }$ の値 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の有理化。どちらで書いてもよいが、分母に根号を残さないのが答案の作法である。

別解

$3$ つの答えがすべてきれいな数($1,1,2$)になったのは偶然ではない。それぞれに理由がある。

(1) $\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=1$

これは加法定理 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$(数IIで学ぶ)の形。$\alpha =30^{\circ },\beta =60^{\circ }$ なので

$$=\sin (30^{\circ }+60^{\circ })=\sin 90^{\circ }=1$$

計算せずに答えが出る。「$\sin \cos +\cos \sin$」の形を見たら、角を足す。

(2) $\tan 30^{\circ }\tan 60^{\circ }=1$

$30^{\circ }$ と $60^{\circ }$ は余角($30+60=90$)。余角どうしの $\tan$ は互いに逆数だ($\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$)。逆数の積は必ず $1$。

(3) $(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }{)}^2=2$

展開すると ${\sin }^2+2\sin \cos +{\cos }^2=1+2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$。$\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので $1+1=2$。

相互関係 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使えば、値を代入せずに済む — $45^{\circ }$ に限らず、どんな $\theta$ でも $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ が成り立つ。

きれいな答えの裏には、必ず公式の構造がある — 計算して確かめるだけでなく、「なぜきれいになったか」を問うと、公式の予告編が見えてくる。