cos36°の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $36^{\circ }$ は有名角ではないのに、値が求まる。鍵は $2\times 36^{\circ }+3\times 36^{\circ }=180^{\circ }$ という関係だ。

$\sin$ は補角で等しいから $\sin 72^{\circ }=\sin 108^{\circ }$、つまり $\sin 2\theta =\sin 3\theta$($\theta =36^{\circ }$)。ここに2倍角・3倍角の公式を入れると、$\cos \theta$ だけの方程式になる。$x=\cos 36^{\circ }$ を2次方程式の解として求めればよい。

① 等式を立てる。 $\theta =36^{\circ }$ とすると $2\theta +3\theta =180^{\circ }$ より $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )=\sin 3\theta$。

② 公式で展開する。

$$2\sin \theta \cos \theta =\sin \theta (3-4{\sin }^2\theta )$$

$\sin \theta \ne 0$ だから両辺を $\sin \theta$ で割ってよい。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入して

$$2\cos \theta =3-4(1-{\cos }^2\theta )=4{\cos }^2\theta -1$$

③ $\cos \theta$ の方程式を解く。 $x=\cos \theta$ とおくと

$$4x^2-2x-1=0⟺x=\frac{2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$$

$\cos 36^{\circ }>0$ だから正の解をとって

$$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

まとめ: $2\theta +3\theta =180^{\circ }$ から $\sin 2\theta =\sin 3\theta$ を作り、倍角の公式で $\cos \theta$ の2次方程式に落とす。最後は符号($\cos 36^{\circ }>0$)で解を選ぶ。$36^{\circ }$ が「方程式の解」として捕まる瞬間だ。

発展 — 一歩先へ。 $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$($\phi$ は黄金比)。正五角形の対角線と辺の比がちょうど $\phi$ で、五芒星の中には同じ比が入れ子で無限に現れる。$36^{\circ }$ の三角比は、黄金比の別の顔である。

別解

正五角形の相似で(数Iだけの黄金比ルート)。 倍角の公式(数II)を使わずに、図形の相似だけでも出せる。

頂角 $36^{\circ }$、底角 $72^{\circ }$、等しい2辺が $1$ の二等辺三角形を考える(正五角形の対角線2本が作る三角形)。底辺を $x$ とする。

底角($72^{\circ }$)の二等分線を引くと、$36^{\circ }$ の角が2つでき、もとの三角形と相似な小さい二等辺三角形が現れる。等しい線分を追うと、二等分線の長さも、切り取られる線分も $x$ になり、相似比の等式

$$\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}⟺x^2=1-x⟺x^2+x-1=0$$

が立つ。$x>0$ より $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

仕上げは余弦定理だ。頂角 $36^{\circ }$ をはさむ2辺が $1$、対辺が $x$ だから

$$x^2=1+1-2\cos 36^{\circ }⟺\cos 36^{\circ }=\frac{2-x^2}{2}=\frac{2-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

図形の中に方程式 $x^2=1-x$(黄金比の方程式)が隠れている。それを取り出すのがこのルートの見どころだ。