測量への応用(仰角と距離)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 測量の文章題は、図と記号への翻訳が勝負だ。

塔の高さを $h$、塔の真下を $C$ とおく。仰角 $45^{\circ }$ と $30^{\circ }$ が、それぞれ直角三角形の $\tan$ の式になる。

未知数は $h$ の1つ、式は2つ。$BC$ を $h$ で表して1本の方程式にまとめれば解ける。答えの分母に根号が残ったら、有理化まで仕上げること。

記号を設定する。 塔の真下の地点を $C$、塔の高さを $CT=h\mathrm{m}$($T$ は塔の先端)とする。$A$、$B$、$C$ はこの順に一直線に並び、$AB=20\mathrm{m}$ だ。文章題は、この『おく』作業を紙に書いた時点で半分終わっている。

各地点の仰角を式にする。 仰角とは『水平線から見上げた角』。高さと水平距離を結ぶのは $\tan$ だ。地点 $B$ では仰角 $45^{\circ }$ なので、直角三角形 $TBC$ で

$$\tan 45^{\circ }=\frac{h}{BC}=1\text{よって}BC=h$$

仰角 $45^{\circ }$ なら『高さ $=$ 水平距離』。この読みかえを覚えておくと図が一気に単純になる。地点 $A$ では仰角 $30^{\circ }$ なので、直角三角形 $TAC$ で

$$\tan 30^{\circ }=\frac{h}{AC}=\frac{h}{h+20}$$

$AC=AB+BC=20+h$ と、さっき求めた $BC=h$ がここで合流する。

方程式を解く。 $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ なので

$$\frac{h}{h+20}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{よって}\sqrt{3}h=h+20$$

$h$ を左辺に集めて

$$(\sqrt{3}-1)h=20\text{よって}h=\frac{20}{\sqrt{3}-1}$$

分母に根号が残っているので有理化する。分母・分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けて

$$h=\frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1}=10(\sqrt{3}+1)$$

まとめ:よって塔の高さは $10(\sqrt{3}+1)\mathrm{m}$(約 $27.3\mathrm{m}$)だ。7〜8階建てのビルほどの高さ。現実の量として不自然でないことも確かめておくと安心できる。

発展 — 一歩先へ。 1地点の観測では「距離か高さのどちらか」が分からないが、2地点から測ると方程式が2本になり、両方が決まる。観測点を増やして未知数を確定させるこの考え方は、実際の測量や GPS の原理(複数の衛星からの距離で位置を決める)につながっている。

仰角が特別角でない場合は $\tan$ の値を数表や近似値でもらう。式の立て方自体は今日とまったく同じだ。

別解

$\tan$ の式を立てずに、「特別な直角三角形の辺の比」で読む方法もある。

$45^{\circ }$ の直角三角形は、底辺と高さが同じ($1:1$)。だから $BC=h$。

$30^{\circ }$ の直角三角形は、底辺が高さの $\sqrt{3}$ 倍($1:\sqrt{3}$)。だから $AC=\sqrt{3}h$。

2つの底辺の差が、歩いた距離だ。

$$AC-BC=(\sqrt{3}-1)h=20$$

これを解いて $h=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1)$。

やっている計算は本解と同じだが、「$45^{\circ }$ なら同じ長さ、$30^{\circ }$ なら $\sqrt{3}$ 倍」という比の感覚で図が読めると、式を立てる前に答えの構造が見える。