sinθ+cosθ から対称式の値を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和の値1つだけで、積や3乗の和まで聞かれている。一見、情報が足りない。

でも三角比には、いつでも成り立つ隠れた等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ がある。これが「和と積をつなぐパイプ」になる。

与式を2乗すれば、$1$ と $2\sin \theta \cos \theta$ が現れて積が出る。あとは対称式の変形だ。$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を「和と積の分かった2つの数」として扱う。

(1) 積 $\sin \theta \cos \theta$ を出したいのに、手元にあるのは和だけ。こういうときは2乗してみる。和を2乗すれば積が顔を出すからだ。$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ の両辺を2乗すると

$${\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$$

ここで ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ が効く。2乗の和が勝手に $1$ になってくれるのが、三角比の対称式のうまみだ。

$$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}\text{よって}\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8}$$

(2) 3乗の和は、因数分解の公式で『和と積』に分けられる。

$${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =(\sin \theta +\cos \theta )({\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta )$$

右の因数もまた ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ で $1-\sin \theta \cos \theta$ にできる。(1)の結果を入れて

$${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =\frac{1}{2}\times \left(1-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$$

負の数を引くところで符号を間違えやすい。$1-\left(-\frac{3}{8}\right)=1+\frac{3}{8}$ と、引き算が足し算に変わることをていねいに確かめる。

(参考: $\sin \theta \cos \theta <0$ で、この範囲では $\sin \theta \geqq 0$ だから $\cos \theta <0$。つまり $\theta$ は鈍角だ、というところまで読み取れる。)

発展 — 一歩先へ。 $\sin \theta +\cos \theta$ と $\sin \theta \cos \theta$ の間を2乗で行き来する技は、数学IIの三角関数で「$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおく置きかえ」として主役に昇格する。最大・最小問題の定番だ。

数と式の単元で学んだ対称式の変形が、三角比の世界でもそのまま通用した。道具は分野をまたいで使い回せる、という実感を持っておきたい。

別解

(2)は、3乗の展開公式から入る道もある。

$(s+c{)}^3=s^3+c^3+3sc(s+c)$ という展開($s=\sin \theta$、$c=\cos \theta$ と略記)を移項すると

$$s^3+c^3=(s+c{)}^3-3sc(s+c)$$

値を入れて ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-3\times \left(-\frac{3}{8}\right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{9}{16}=\frac{11}{16}$。

因数分解の公式($s^3+c^3=(s+c)(s^2-sc+c^2)$)を使う道と、展開公式を移項する道。3乗の対称式にはこの2本の道が常にあり、どちらも「和と積だけで書ける」ことに変わりはない。覚えやすいほうを使えばよい。