立方体の対角線と底面のなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「直線と平面のなす角」の定義は、直線とその平面への正射影がなす角。

立方体の対角線の正射影は、底面の対角線だ。対角線(長さ $\sqrt{3}$)・その影(長さ $\sqrt{2}$)・高さ($1$)で直角三角形ができる。

$\cos \theta =\frac{\text{影}}{\text{斜辺}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ — 有理化して $\frac{\sqrt{6}}{3}$。空間の角は「射影で直角三角形を作る」が合言葉になる。

① 対角線と影の長さ。 立方体の対角線の長さは $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$。この対角線の底面への正射影は底面の対角線で、長さ $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

② $\cos \theta$。 対角線・影・立方体の高さ($1$)が直角三角形をなし $$\cos \theta =\frac{\text{影}}{\text{対角線}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

まとめ 対角線 $\sqrt{3}$、底面への影 $\sqrt{2}$ で直角三角形。$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。空間図形を直角三角形に帰着する計量。図形と計量(空間)の融合。

発展 — 一歩先へ。 「直線と平面のなす角=正射影との角」が最小の角である理由: 平面内の任意の直線との角 $\phi$ は $\cos \phi =\cos \theta \cos \psi$($\psi$ は影とその直線の角)を満たし、$\cos \psi \le 1$ から $\phi \ge \theta$。この「3つの余弦の積の関係」は、空間の角の計算(二面角・直線と直線)を平面に分解する基本原理で、数Cのベクトルで内積として一本化される。

別解

成分の内積で(ベクトルの先取り)。 立方体を座標に置くと、対角線は $\vec{d}=(1,1,1)$、その底面への正射影は $\vec{p}=(1,1,0)$。2本のなす角が求める $\theta$ だから

$$\cos \theta =\frac{\vec{d}\cdot \vec{p}}{|\vec{d}||\vec{p}|}=\frac{1+1+0}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

直角三角形(本解)と同じ値だ。

内積の公式は数Cの道具だが、「空間の角=ベクトルの内積」という翻訳を早めに知っておくと、射影が描きにくい斜めの角でも機械的に計算できる。逆に本解の「影/斜辺」は、内積計算の図形的な意味($\vec{p}$ が $\vec{d}$ の影)を教えてくれる — 2つの道は同じ1枚の直角三角形を、図と成分から見ている。