角の二等分線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 角の二等分線 AD の長さは、面積の分割でとらえるのが速い。

$\angle A=120^{\circ }$ を二等分するので $\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$。$△ABC=△ABD+△ACD$ の各面積を「$\frac{1}{2}\times (\text{はさむ2辺})\times \sin (\text{はさむ角})$」で表す。AD を未知数 $x$ にすると、面積の等式が $x$ の1次方程式になり、一発で解ける。

① 全体の面積。 $△ABC=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

② 分割の和。 $\mathrm{AD}=x$ とおく。$\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$ より

$$△ABD=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot x\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}x$$ $$△ACD=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot x\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}x$$

③ 等式を解く。 $△ABC=△ABD+△ACD$ だから

$$\frac{15\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}x+\frac{3\sqrt{3}}{4}x=\frac{8\sqrt{3}}{4}x$$

両辺を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ で割って $15=8x$。すなわち $x=\frac{15}{8}$。

まとめ: 二等分線で $\angle A$ が $60^{\circ }+60^{\circ }$ に分かれることを使い、「面積 $=$ 分割の和」を AD の方程式にする。$\sin 60^{\circ }$ が全項で共通だから約せて、一般形 $\mathrm{AD}=\frac{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cos 60^{\circ }}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}$ の形になる。

発展 — 一歩先へ。 一般形を整理すると $\mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$。前半の $\frac{2bc}{b+c}$ は2辺 $b,c$ の調和平均だ。二等分線の長さは「調和平均 × 半角の余弦」という覚え方ができる。

別解

二等分線の長さの公式で(得意な人向け)。 角の二等分線には、方べきの定理の香りがする名公式がある:

$${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}$$

使ってみよう。まず余弦定理で ${\mathrm{BC}}^2=25+9-2\cdot 15\cos 120^{\circ }=34+15=49$、$\mathrm{BC}=7$。二等分線の性質から $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:3$ なので、$\mathrm{BD}=\frac{35}{8},\mathrm{DC}=\frac{21}{8}$。よって

$${\mathrm{AD}}^2=5\cdot 3-\frac{35}{8}\cdot \frac{21}{8}=15-\frac{735}{64}=\frac{225}{64},\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$$

公式の出どころも一言。AD を延長して外接円との交点を E とすると、円周角から $△ABD$ と $△AEC$ が相似で $\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}$。方べきの定理で $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DE}$。差をとると $\mathrm{AD}\cdot (\mathrm{AE}-\mathrm{DE})={\mathrm{AD}}^2$ が残る。円の道具(数A)と計量が握手する、美しい公式だ。