3辺から面積と内接円の半径を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3辺だけが与えられた三角形の面積。$\sin$ も $\cos$ もどこにも見えないが、道はちゃんと通っている。

①余弦定理で1つの角の $\cos$ を出す(3辺があれば必ずできる)。②相互関係で $\sin$ に直す。③面積公式に入れる。④内接円は $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ で仕上げる。

この4段の数珠つなぎは、図形と計量の集大成としてそのまま入試に出る型だ。

(1) 角 $B$ をはさむ2辺は $AB=5$、$BC=6$、角 $B$ の対辺は $CA=7$ だ。分子で引くのは対辺の2乗。ここを取りちがえないよう、代入前に『はさむ2辺』『対辺』を声に出して確認する。余弦定理より

$$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{25+36-49}{2\times 5\times 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$

(2) 面積公式に必要なのは $\cos$ ではなく $\sin$。そこで相互関係で乗りかえる。$0^{\circ }<B<180^{\circ }$ より $\sin B>0$ なので、根号の前の符号で迷わなくていい。

$$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$

面積公式より

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\times 5\times 6\times \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$$

面積公式で使う角は『使った2辺にはさまれた角』でなければならない。(1)で $\cos B$ を求めたのだから、2辺も $B$ をはさむ $AB$、$BC$ を使う。この整合を崩さないこと。

(3) 内接円の半径 $r$ は、面積を2通りに表す関係 $S=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)$ から求まる(内心と各頂点を結んで3分割する、あの式だ)。

$$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}r(5+6+7)=9r$$

よって

$$r=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

まとめ:①〜④のどの段も、単独では基本問題だ。つなげて一気に走れるかが、標準問題との分かれ目になる。

発展 — 一歩先へ。 3辺が決まれば三角形は1つに決まる(合同条件)。だから面積も、内接円も外接円も、すべて3辺から計算できるはずで、今日の4段+正弦定理($2R=\frac{a}{\sin A}$)はその計算路をひととおり歩いたことになる。

ヘロンの公式は、4段の道を文字のまま一般に実行して1本の式に固めたものだ。「なぜ成り立つか」を本解の道順で説明できれば、公式は暗記でなく圧縮になる。

別解

(2)(3)は、ヘロンの公式を知っていれば一気に飛べる(3辺から面積を直接出す公式で、発展的な内容として教科書にも載っている)。

3辺の和の半分を $s$ とすると $s=\frac{5+6+7}{2}=9$ で

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{9\times 3\times 4\times 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$$

(3)も $S=rs$ という短い形が使える($S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ の $a+b+c=2s$ を代入した形だ)。

$$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

本解の4段の道は「なぜ求まるか」が見える教育的なルート、ヘロンは検算・時短ルート。両方持っていると、本番で答えを2重に確かめられる。