正弦定理(辺と外接円の半径)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正弦定理は「辺とその向かいの角」をペアで結ぶ。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

($a$ は角 $A$ の対辺、$R$ は外接円の半径。)

使うときは「$2$ 組のうち $3$ つが分かれば、残り $1$ つが出る」。

$BC=6$ は角 $A$ の対辺($a=6$)、$\angle A=60^{\circ }$ — このペアが揃っている。$CA$ は角 $B$ の対辺($b$)で $\angle B=45^{\circ }$ — 辺と対角のペアで考えるのが正弦定理の要点だ。

まず対応の確認から。角 $A$ の対辺が $BC=a=6$、角 $B$ の対辺が $CA=b$ だ。図で『角の向かい側の辺』を指さして確かめてから式を立てる。

(1) 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ より

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=6\times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$$

よって $CA=2\sqrt{6}$ だ。分数の中に分数が入る形になるが、$\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{\sqrt{3}}{2}$ で $2$ が約分される。落ち着いて処理すればきれいになる。

(2) 正弦定理のもう1つの顔 $\frac{a}{\sin A}=2R$ を使う。外接円の半径が正弦定理から出るのは意外かもしれないが、これが正弦定理の本体だ。

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$$

まとめ:$2R$ の $2$ を忘れて $R=\frac{a}{\sin A}$ とするミスが多い。『$=2R$』までを1つの公式として、声に出して覚えたい。

発展 — 一歩先へ。 正弦定理は「大きい角の向かいには長い辺」を数値化したものだ。$\sin$ は $0^{\circ }$〜$90^{\circ }$ で増加するので、角が大きいほど対辺も長い — 今回なら $\angle A=60^{\circ }>\angle B=45^{\circ }$ だから $a=6>b=2\sqrt{6}\approx 4.9$ ✓。答えの大小関係が角の大小と合っているか、最後に確認したい。

$2R$ という量が出てくるのは、円周角の定理が背景にあるからだ。外接円で弦 $a$ に対する円周角が $A$ のとき、$a=2R\sin A$ — これは円周角の定理の三角比版。正弦定理は、円の幾何学の言い換えである。だから外接円の半径が自然に登場する。

別解

正弦定理を使う順序にコツがある — 先に $2R$ を求めておくと、以降の辺がすべて掛け算 $1$ 回で出る。

手順1: 完全なペアから $2R$ を出す

$a=6$、$\angle A=60^{\circ }$ が揃っている。

$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

外接円の半径 $R=2\sqrt{3}$ — (2)の答えが先に出た。

手順2: $2R$ を使って他の辺を出す

正弦定理を $b=2R\sin B$ の形で使う。

$$CA=b=4\sqrt{3}\times \sin 45^{\circ }=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}$$

掛け算 $1$ 回で終わり。比例式を立てて交差乗算する手間がない。

$$\boxed{\text{辺}=2R\times \sin (\text{対角})}$$

この形で覚えておくと、$c$(角 $C=75^{\circ }$ の対辺)も同じく $4\sqrt{3}\sin 75^{\circ }$ で即座に出る。

$2R$ は三角形の "変換係数" — すべての辺が「$2R\times$ 対角の $\sin$」で表せる。正弦定理の本質は「辺と $\sin$ が比例し、その比例定数が $2R$」ということだ。$R$ を聞かれていなくても、まず $2R$ を出すのが定跡である。

検算: $2R$ の値がどのペアでも同じか確かめる。$\frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{3}$ ✓ — 一致した。