数学I / 図形と計量

sin の比から角を求める

★★ 標準正弦定理余弦定理辺の比

問題

$△ A B C$ において

$sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$

が成り立つとき、 $∠ B$ の大きさを求めよ。

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『 $sin$ の比』は、実は何の比と同じ? 正弦定理を思い出すと、辺は $sin$ に比例している。だから $sin$ の比をそのまま辺の比に読みかえてよい。あとは辺の比を文字で置いて、角を出す関係へ。

解答・解説

方針

『 $sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$ 』。角の情報のようでいて、実は辺の情報だ。

正弦定理 $a = 2 R sin A$ などから、辺の長さは $sin$ に比例する。つまり $sin$ の比は、そのまま辺の比 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ と読みかえてよい。

読みかえてしまえば、 $a = 5 k$ 、 $b = 7 k$ 、 $c = 8 k$ とおいて余弦定理に入れるだけ。比例定数 $k$ は約分で消えるので、恐れず持ちこんでよい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$ 」。角の情報のようでいて、実は辺の情報だ。

正弦定理( $a = 2 R sin A$ など)から、辺の長さは $sin$ に比例する。つまり $sin$ の比はそのまま辺の比 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ と読みかえてよい。

読みかえたら $a = 5 k$ 、 $b = 7 k$ 、 $c = 8 k$ とおいて、余弦定理で $cos B$ を計算する。 $k$ は約分で消える。

sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8 ⇔ a : b : c = 5 : 7 : 8

定理正弦定理

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

(辺は

sin

に比例)

sin の比を辺の比に読みかえる。 正弦定理より $a = 2 R sin A$ 、 $b = 2 R sin B$ 、 $c = 2 R sin C$ 。どの辺も $sin$ の $2 R$ 倍なので

$a : b : c = sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$

よって正の数 $k$ を使って $a = 5 k$ 、 $b = 7 k$ 、 $c = 8 k$ とおける。『比しかわからないのに長さを文字でおいていいのか』と不安になるかもしれないが、比だけで決まる量(角)を聞かれているのだから、 $k$ は最後に消えるはず。そう見通しを立てて進む。

余弦定理で $cos B$ を求める。

$cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a} = \frac{( 8 k ) ^{2} + ( 5 k ) ^{2} - ( 7 k ) ^{2}}{2 \cdot 8 k \cdot 5 k} = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

(予告どおり $k^{2}$ が分母・分子に共通で現れ、約分されて消える。)

角を確定する。 $0^{\circ} < B < 18 0^{\circ}$ で $cos B = \frac{1}{2}$ になるのは

$∠ B = 6 0^{\circ}$

まとめ: $cos$ は $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ で値から角が1つに決まる( $sin$ とちがって候補が2つ出ない)。角を確定させたい場面で余弦定理が好まれる理由の1つだ。

発展 — 一歩先へ。 「 $sin$ の比=辺の比」は正弦定理の実用形として、比が絡む三角形の問題の入り口に何度も現れる。逆向き(辺の比から $sin$ の比)にも使える。

「比だけ与えられたら、 $k$ を付けて実体化するか、相似の代表を選ぶ」。この両構えは、図形に限らず濃度や速さの比の問題でも同じように効く、比の扱いの基本姿勢だ。

答

$∠ B = 6 0^{\circ}$

別解

$k$ を書かずに、最初から「辺 $5, 7, 8$ の三角形」で計算してしまう考え方もある。

それが許される理由は相似だ。辺の比が $5 : 7 : 8$ の三角形は、大きさこそ様々だが、すべて相似で角は共通。角だけを聞かれているのだから、いちばん計算しやすい代表(辺がちょうど $5, 7, 8$ )を1つ選んで調べれば十分だ。

$cos B = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \times 5 \times 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって $∠ B = 6 0^{\circ}$ 。

答案では $k$ を付けて書くのが丁寧だが、頭の中では「代表を1つ選ぶ」と考えてよい。比だけが与えられた図形の問題では、この「相似だから代表で調べる」が思考を軽くしてくれる。

ポイント

$sin A : sin B : sin C = a : b : c$ (正弦定理の比の形)
比で与えられたら $5 k, 7 k, 8 k$ とおく — $k$ は最後に消える
辺の比 → 余弦定理で角、という2つの定理のリレーに慣れる

よくある間違い

$sin$ の比を角の比( $A : B : C = 5 : 7 : 8$ )と誤解する
余弦定理の分子で、求める角の対辺( $b = 7 k$ )を引くことを忘れる
比例定数 $k$ の扱いに不安を覚えて手が止まる(相似なので $k$ は必ず約分で消える)