13-14-15の三角形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3辺の長さだけが与えられている。まずヘロンの公式で面積 $S$ を確定させる。

$S$ さえ出れば、あとは逆算だ。内接円半径は $S=rs$(面積 $=$ 内接円半径 $\times$ 周の半分)。外接円半径は $S=\frac{abc}{4R}$。面積を「共通の橋」にして、2つの半径を取り出す。

① 面積(ヘロン)。 $s=\frac{13+14+15}{2}=21$。

$$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$$

② 内接円半径。

$$84=r\cdot 21⟺r=4$$

③ 外接円半径。

$$84=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4R}=\frac{2730}{4R}⟺R=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}$$

まとめ: 面積を先に確定し、$S=rs$ と $S=\frac{abc}{4R}$ で $r,R$ を逆算する。3つの量が、面積という1つの値を軸につながっている。

発展 — 一歩先へ。 $13,14,15$ は「辺も面積も整数」になるヘロン三角形の代表格だ。正体は、直角三角形 $5$-$12$-$13$ と $9$-$12$-$15$ を高さ $12$ で貼り合わせたもの(別解)。この見方を知っていると、$S=84$ も $r=4$ も、いつでも数秒で再現できる。

別解

垂線で2つの直角三角形に割る(ヘロンを使わないルート)。 ヘロンの公式を忘れても、垂線1本で解ける。

BC$=14$ を底辺にして、A から垂線 AH を下ろす。$\mathrm{BH}=x$ とおくと $\mathrm{HC}=14-x$。左右の直角三角形で高さ ${\mathrm{AH}}^2$ を2通りに表す:

$$13^2-x^2=15^2-(14-x{)}^2$$

展開すると $169-x^2=225-196+28x-x^2$、整理して $169=29+28x$、$x=5$。

すると ${\mathrm{AH}}^2=169-25=144$、$\mathrm{AH}=12$。なんと左は $5$-$12$-$13$、右は $9$-$12$-$15$($=3\times (3,4,5)$)という有名直角三角形の貼り合わせだった。面積は

$$S=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$$

$r=\frac{S}{s}=4$、$R=\frac{abc}{4S}=\frac{65}{8}$ は本解と同じ。$13$-$14$-$15$ の「正体」が見える、気持ちのよいルートだ。