円錐面上の最短経路

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲面に沿った最短経路は、曲面を平面に展開して直線で結ぶ。これが原則だ。

円錐の側面を切り開くと扇形になる。扇形の半径は母線 $4$。中心角は「底面の円周 $=$ 扇形の弧の長さ」から決まる。

展開図の上で、出発点 A と「1周して戻ってきた A」は、扇形の両端の半径の上に、ともに中心から距離 $4$ の位置に現れる。この2点を結ぶ直線の長さが、求める最短だ。

① 展開図の中心角。 底面の円周は $2\pi \cdot 1=2\pi$。これが半径 $4$ の扇形の弧の長さになる。中心角を $\alpha$ とすると弧長 $=4\alpha =2\pi$、すなわち

$$\alpha =\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

② 展開図上の2点。 出発点 A と1周後の A′ は、扇形の2つの半径(ともに長さ $4$)の端にあり、はさむ角は中心角 $\alpha =\frac{\pi }{2}$。

③ 直線距離(余弦定理)。 中心 O、$\mathrm{OA}=\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=4$、$\angle \mathrm{AO}{\mathrm{A}}^{\prime }=\frac{\pi }{2}$ の三角形で

$${\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \frac{\pi }{2}=32-0=32,\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }=4\sqrt{2}$$

よって最短の糸の長さは $4\sqrt{2}$。

まとめ: 曲面の最短は「展開して直線」。扇形の中心角を「弧長 $=$ 底面の円周」から出し、両端の A を余弦定理で結ぶ。今回は中心角がちょうど $90^{\circ }$ になり、直角二等辺三角形の斜辺として $4\sqrt{2}$ が出た。

発展 — 一歩先へ。 展開図からは追加の情報も読める。糸が頂点に最も近づく距離は、O から線分 AA′ までの距離で $4\cos 45^{\circ }=2\sqrt{2}$。また、糸の長さ $4\sqrt{2}\approx 5.66$ は底面の円周 $2\pi \approx 6.28$ より短い。まっすぐ張った糸は、水平にぐるりと巻くより、頂点側へ膨らむ分だけ得をしている。

別解

一般の円錐で公式にする(得意な人向け)。 母線 $\ell$、底面の半径 $r$ の円錐で、同じ計算を文字のまま実行してみる。

展開図の中心角は $\alpha =\frac{2\pi r}{\ell }$。1周する最短の糸は、半径 $\ell$・頂角 $\alpha$ の二等辺三角形の底辺だから、二等辺三角形を半分に割って

$$(\text{最短})=2\ell \sin \frac{\alpha }{2}=2\ell \sin \frac{\pi r}{\ell }$$

本問は $\ell =4,r=1$ で $2\cdot 4\sin \frac{\pi }{4}=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。一致する。

この公式は適用範囲も教えてくれる。中心角 $\alpha$ が $180^{\circ }$ を超える(つまり $r>\frac{\ell }{2}$ の平たい円錐)と、2点を結ぶ直線が扇形の外にはみ出してしまい、「展開して直線」の答えはそのままでは使えなくなる。公式化は、答えと一緒に「成り立つ条件」まで見せてくれる。