鈍角三角形になる辺の範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「鈍角三角形」には $2$ つの条件が要る。まず三角形として成立すること、次に $1$ つの角が鈍角であること。両方を連立する。

三角形の成立は「最も短い $2$ 辺の和 $>$ 最長辺」。辺は $x<x+1<x+2$ だから $x+(x+1)>x+2$、すなわち $x>1$。

鈍角は「最大辺の対角が鈍角」。最大辺 $x+2$ の対角の $\cos$ が負、余弦定理から $x^2+(x+1{)}^2<(x+2{)}^2$。整理して $x^2-2x-3<0$、$-1<x<3$。両方あわせて $1<x<3$。

① 三角形の成立条件。 最長辺は $x+2$。他の $2$ 辺の和がこれより大きい必要がある。

$$x+(x+1)>x+2⟹x>1$$

(各辺が正、という条件 $x>0$ はこれに含まれる。)

② 鈍角の条件。 鈍角になるとすれば最長辺 $x+2$ の対角。余弦定理の分子の符号だけ見て

$$x^2+(x+1{)}^2<(x+2{)}^2$$

$$x^2+x^2+2x+1<x^2+4x+4⟹x^2-2x-3<0⟹(x-3)(x+1)<0$$

より $-1<x<3$。

③ 連立する。 ①$x>1$ と ②$-1<x<3$ の共通範囲は

$$1<x<3$$

まとめ:「鈍角三角形」は「三角形が成立」+「最大辺の対角が鈍角($\cos <0$)」の $2$ 段構え。成立条件を忘れると、三角形にならない $x$ まで拾ってしまう。角の大小は辺の大小と対応するので、鈍角は必ず最大辺の対角で調べる。

発展 — 一歩先へ。 最大辺の対角の $\cos$ の符号で、三角形は鋭角($\cos >0$、$a^2+b^2>c^2$)・直角($=0$)・鈍角($<0$)に分類できる。これは三平方の定理の一般化(余弦定理)そのもの。$3$ 辺から三角形の“形”が、最大辺の対角ひとつで判定できる。

別解

別解 — $3$ つの角のうち最大角だけ調べればよい理由(得意な人向けの視点)。 鈍角三角形とは「$1$ つの内角が $90°$ より大きい」三角形。内角の和は $180°$ だから、鈍角は高々 $1$ つ。しかも鈍角があるなら、それは必ず最大辺の対角だ(辺が大きいほど対角も大きい)。

だから調べるべきは最大辺 $x+2$ の対角だけ。余弦定理で

$$\cos (\text{最大角})=\frac{x^2+(x+1{)}^2-(x+2{)}^2}{2x(x+1)}=\frac{x^2-2x-3}{2x(x+1)}=\frac{(x-3)(x+1)}{2x(x+1)}.$$

鈍角 $⟺\cos <0$。分母 $2x(x+1)>0$(辺は正)だから、分子 $(x-3)(x+1)<0$、すなわち $-1<x<3$。辺が正なので $x>0$、三角形成立で $x>1$。あわせて $1<x<3$。

$3$ 角すべてを調べる必要はなく、「最大辺の対角の $\cos$ の符号」だけ見ればよい。$\cos$ が正なら鋭角三角形、$0$ なら直角、負なら鈍角、と最大角の $\cos$ で三角形の種類が判定できる。