図形と計量の解説

図形と計量は、三角比(sin・cos・tan)を定義し、それを使って三角形の辺・角・面積を計算する単元です。公式の数が多く見えますが、実際に使うのは「相互関係」「正弦定理」「余弦定理」「面積公式」の4つで、残りはこれらの組合せです。この記事では、公式をいつ選ぶかの判断と、この単元特有のつまずきを説明します。

三角比は「直角三角形の辺の比」から「単位円の座標」へ

最初は直角三角形で $\sin \theta =\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$ のように定義しますが、鈍角を扱うために、半径1の半円上の点の座標として定義し直します。$\sin \theta$ は $y$ 座標、$\cos \theta$ は $x$ 座標です。この定義に切り替えると、$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$、$\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ のような公式が、図から読めるようになります。鈍角の三角比と180°−θ・90°−θ の公式で、半円の図と式を対応させてください。

相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$、$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$、$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ は、1つの三角比から残りを求めるための道具です。鈍角では $\cos \theta <0$ になるので、符号の判定を忘れないでください。標準の鈍角の三角比と相互関係がこの確認です。

$\sin \theta +\cos \theta$ の値が与えられて $\sin \theta \cos \theta$ を求める問題は、両辺を2乗して相互関係を使う、という対称式の技術です。標準の同名の問題と応用の各三角比を決定で型を固めてください。

正弦定理と余弦定理の使い分け

三角形の問題で最初に決めることは、正弦定理と余弦定理のどちらを使うかです。判断の基準は「与えられているものと求めるものの組」です。

向かい合う辺と角のペアが1組わかっていて、もう1組の片方を求めるなら正弦定理です。外接円の半径が絡むときも正弦定理です。2辺とその間の角から残りの辺を求める、または3辺から角を求めるなら余弦定理です。

図を描いて「ペアがそろっているか」を見るのが確実です。正弦定理、余弦定理(2辺と間の角)、余弦定理(3辺から角)の3問で、それぞれの使いどころを確認したうえで、標準の正弦定理による三角形の解法に進んでください。

つまずきやすいところ

正弦定理で角を求めると、$\sin A=\frac{1}{2}$ から $A=30^{\circ }$ と $150^{\circ }$ の2つが出ることがあります。三角形の内角の和が $180^{\circ }$ を超えないかで絞りますが、両方が可能な場合もあります(標準の三角形の解が2通りある場合)。角を求めるときは余弦定理のほうが一意に決まるので、迷ったら余弦定理を選ぶのが安全です。

面積の計算では、$S=\frac{1}{2}bc\sin A$ を使いますが、3辺しか与えられていないときは、まず余弦定理で $\cos A$ を求め、相互関係で $\sin A$ に直す、という2段階が必要です。標準の3辺から面積と内接円の半径と応用の13-14-15 の三角形は、この手順を面積・外接円・内接円まで通す問題です。内接円の半径は $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ から求めます。

円に内接する四角形は、向かい合う角の和が $180^{\circ }$ であることを使って、対角線で分けた2つの三角形に余弦定理を2回使い、$\cos$ の符号が逆になることで連立します。標準の円に内接する四角形と応用の角と面積で、この定番の手順を練習してください。

空間図形と測量

この単元の後半では、三角比を空間図形と測量に応用します。正四面体の高さと体積(応用の正四面体の計量)は、頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心にくることを使い、直角三角形を取り出して三平方の定理で解きます。直方体の中の三角形(標準の直方体の中の三角形の面積)は、3辺を空間の三平方で求めてから余弦定理と面積公式に持ち込みます。

空間の問題では、「どの平面で切れば直角三角形が現れるか」を見つけることがすべてです。このサイトでは、断面や補助線を含む図を解説に付けてあるので、図を見て平面への帰着を確かめてください。

測量の問題(標準の仰角と距離、応用の2地点からの測角と仰角)は、水平面の三角形で正弦定理を使って距離を求め、鉛直面の直角三角形で高さを求める、という2段構えです。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、三角比の定義から始めて、特殊角、相互関係、鈍角、公式、方程式、正弦定理、余弦定理、面積、内接円の順です。標準12問で三角形の解法、対称式、四角形、空間、測量、角の二等分線を扱い、応用8問で対称式との組合せ、正四面体、形状決定へ進みます。

入試では、余弦定理で辺や角を決めたあとに面積・外接円・内接円を求める問題、円に内接する四角形、空間図形の計量が定番です。数学IIの三角関数に入ると、加法定理と合成が加わりますが、正弦定理・余弦定理・面積公式はそのまま使い続けます。難関(★★★★)以上には、トレミーの定理、傍接円、重心からの距離の2乗の和、対辺が等しい四面体など、平面幾何(数学Aの図形の性質)と融合する題材を置きました。