三角形の面積公式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の面積といえば「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」。しかしこの問題では高さが与えられていない。

与えられているのは $2$ 辺($6$ と $4$)と、そのはさむ角($30^{\circ }$)。

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$

この公式は「$2$ 辺とはさむ角があれば面積が出る」と言っている。$\sin$ が高さの役目を引き受けているのだ。

余弦定理・正弦定理と同じく、与えられた形($2$ 辺+はさむ角)が道具を指定する。まず何が与えられているかを確認する癖をつけたい。

2辺 $AB$、$AC$ とその間の角 $A$ がわかっているので、面積公式を使う。

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\times 6\times 4\times \sin 30^{\circ }$$

$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので

$$S=\frac{1}{2}\times 6\times 4\times \frac{1}{2}=6$$

公式の意味を図で確かめよう。$AC\sin A=4\sin 30^{\circ }=2$ は、頂点 $C$ から直線 $AB$ に下ろした高さだ。つまり『底辺 $6$ × 高さ $2$ ÷ 2 $=6$』。小学校の面積公式と同じ計算をしている。$\cos$ を使うミスは、『高さは上向きの成分だから $\sin$』という由来を思い出せば防げる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 辺の長さ $b$、$c$ を固定したまま、はさむ角 $A$ だけを動かすと面積 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ はどう変わるか。$\sin A$ は $A=90^{\circ }$ で最大 $1$ をとるから、

$$S\leqq \frac{1}{2}bc(\text{等号は }A=90^{\circ })$$

$2$ 辺の長さが決まっているとき、面積が最大になるのは直角のとき。角を開きすぎても閉じすぎても面積は減る — $\sin$ の山型がそれを教えている。今回なら最大面積は $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$ で、$30^{\circ }$ での $6$ はその半分だ。

$3$ 辺だけが分かっているときはヘロンの公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$(ただし $s$ は周の半分)が使える。角を経由せずに面積が出る驚くべき公式で、余弦定理から導ける。「何が与えられたか」に応じて面積公式を使い分ける — $2$ 辺+はさむ角なら $\frac{1}{2}bc\sin A$、$3$ 辺ならヘロン、底辺と高さなら小学校の公式、である。

別解

公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ を暗記していなくても、小学校の「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」だけで解ける。むしろこちらが公式の正体だ。

手順1: 底辺を決める。 $AC=4$ を底辺にしよう。

手順2: 高さを三角比で出す。 頂点 $B$ から直線 $AC$ に垂線 $BH$ を下ろす。すると $△ABH$ は $\angle H=90^{\circ }$ の直角三角形で、斜辺が $AB=6$、$\angle A=30^{\circ }$ だ。

$$\sin A=\frac{BH}{AB}⟹BH=AB\sin A=6\times \sin 30^{\circ }=6\times \frac{1}{2}=3$$

高さは $3$。三角比の定義そのもの(斜辺 $\times \sin$ = 高さ)を使っただけである。

手順3: 小学校の公式に入れる。

$$S=\frac{1}{2}\times (\text{底辺})\times (\text{高さ})=\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$$

同じ答えが出た。

この $3$ 手順をまとめると、公式そのものになる。

$$S=\frac{1}{2}\times \underset{\text{底辺}}{\underbrace{b}}\times \underset{\text{高さ}}{\underbrace{c\sin A}}=\frac{1}{2}bc\sin A$$

$\sin A$ は「斜辺を高さに変換する係数」 — 公式の $\sin$ の正体はこれだ。覚えていなくても、垂線を $1$ 本下ろせばその場で作り直せる。

なお $\angle A$ が鈍角でもこの公式は成り立つ。垂線の足 $H$ が辺 $AC$ の外に出るが、高さは $AB\sin A$($\sin$ は鈍角でも正)のままだからだ。鈍角でも面積公式は無修正で使える — $\sin$ が $0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ で常に非負であることの、実用上の恩恵である。