三角比の2次方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^2\theta$ と $\cos \theta$ が1つの式に混ざっている。このままでは扱えない。まず1種類にそろえる。

どちらに寄せるか。2乗のほうを書き換える。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を使えば、$\cos \theta$ だけの式になる。

逆向き($\cos$ を $\sin$ で表す)は根号が出て面倒になる。「2乗のほうを消す」が鉄則だ。そろえたら、あとは2次方程式である。

まず1種類の三角比にそろえる。 ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入すると

$$2(1-{\cos }^2\theta )-\cos \theta -1=0$$

整理して

$$-2{\cos }^2\theta -\cos \theta +1=0\text{すなわち}2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1=0$$

最高次の係数が負のままだと因数分解でミスしやすい。だから両辺に $-1$ を掛けて正に直した。

2次方程式として解く。 $\cos \theta =t$ とおくと、見慣れた2次方程式になる。ただし $t$ は $\cos$ の値なので $-1\leqq t\leqq 1$ しか許されない。おき換えたら範囲も一緒に書く、が鉄則だ。

$$2t^2+t-1=0\text{すなわち}(2t-1)(t+1)=0$$

よって $t=\frac{1}{2}$ または $t=-1$。どちらも範囲内なので、今回は落ちる解はない。

$\theta$ に戻す。

$t$ を求めて終わりにしないこと。聞かれているのは $\theta$ だ。

• $\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき: $\theta =60^{\circ }$
• $\cos \theta =-1$ のとき: $\theta =180^{\circ }$

$$\theta =60^{\circ },180^{\circ }$$

まとめ:$\theta =180^{\circ }$ を『範囲の端だから』と捨てたくなるかもしれないが、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ は両端を含む。端も立派な答えだ。検算: $\theta =180^{\circ }$ のとき $\sin \theta =0$、$\cos \theta =-1$ で、与式は $0-(-1)-1=0$。確かに成り立つ。

発展 — 一歩先へ。 「1種類にそろえる → 置きかえて2次方程式 → 範囲で検問 → 元の変数に戻す」。この4段は、数学IIの三角方程式・指数方程式・対数方程式で、そっくりそのまま繰り返される黄金の型だ。

置きかえの検問($-1\le \cos \theta \le 1$)は、2次関数の単元でやった「新変数の範囲」と同じ思想である。分野が変わっても、置きかえの作法は1つしかない。

別解

$\cos \theta =t$ と置きかえて、「$t$ の世界」と「角の世界」を分けて処理すると、頭が整理される。

置きかえると $2(1-t^2)-t-1=0$、整理して $2t^2+t-1=0$、因数分解で $(2t-1)(t+1)=0$。

$t$ の候補は $t=\frac{1}{2}$ と $t=-1$。ここで角に戻る前に、1つ検問を置く。$t=\cos \theta$ が取れる値は $-1\le t\le 1$ だけだ。今回は両方とも通過する。

通過した $t$ だけを角に翻訳して、$\theta =60^{\circ },180^{\circ }$。

今回は検問で落ちる候補がなかったが、この型の問題では $t=2$ のような「円の外の値」が出て捨てる場面がよくある。「解いたら範囲で検問」を習慣にしておくと、その日が来ても迷わない。