直方体の中の三角形の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間図形と聞くと身構えるが、やることは「立体の中から三角形を1枚取り出して、平面の問題に落とす」だけだ。

必要なのは $△AFC$ の3辺の長さ。直方体の中の線分は、どれも直角三角形の斜辺なので三平方の定理で求まる。

3辺がそろえば、あとは前問までと同じ「余弦定理 → $\sin$ → 面積公式」の流れに乗る。立体は、最初の一歩(辺の長さ集め)にしか登場しない。

(1) 求めたい線分を含む直角三角形を、立体の面の上に見つける。どれも三平方の定理一発だ。

• $AF$: $△ABF$ は $\angle ABF=90^{\circ }$ の直角三角形なので $AF=\sqrt{A{B}^2+B{F}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
• $FC$: $△FBC$ は $\angle FBC=90^{\circ }$ の直角三角形なので $FC=\sqrt{B{F}^2+B{C}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
• $CA$: 正方形 $ABCD$ の対角線なので $CA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

(2) 3辺がそろったので、ここからは平面図形の問題だ。$△AFC$ で余弦定理より

$$\cos \angle FAC=\frac{A{F}^2+C{A}^2-F{C}^2}{2\cdot AF\cdot CA}=\frac{5+8-5}{2\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{2}}=\frac{8}{4\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$$

$\sin \angle FAC>0$ なので

$$\sin \angle FAC=\sqrt{1-\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{6}{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$$

よって面積は

$$S=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot CA\cdot \sin \angle FAC=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{\sqrt{150}}{5}=\frac{5\sqrt{6}}{5}=\sqrt{6}$$

まとめ:根号の積は $\sqrt{5}\times \sqrt{2}\times \sqrt{15}=\sqrt{150}$ と中身をまとめてから、$150=25\times 6$ で外に出す。1つずつ処理するより速く、ミスも減る。

発展 — 一歩先へ。 「立体から平面を取り出す」帰着は、空間図形のほぼすべての問題の背骨だ。正四面体の断面、球の切り口、二面角。どれも最後は平面の三角形の計量に落ちる。

数学Cの空間ベクトルに進むと、同じ帰着を座標と内積で機械的に実行できるようになる。今日の「3辺集め→平面で計算」は、その原型である。

別解

(1)で $AF=FC=\sqrt{5}$ に気づいただろうか。$△AFC$ は二等辺三角形だ。二等辺三角形なら、頂点から底辺の中点に下ろした線がそのまま高さになるので、余弦定理を使わずに面積が出せる。底辺 $CA=2\sqrt{2}$ の中点を $M$ とすると、$FM\perp CA$ で

$$FM=\sqrt{A{F}^2-A{M}^2}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$$

よって $S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}$。同じ答えに、計算量は半分以下で着く。辺を求め終えたら「等しい辺はないか」と一呼吸置く習慣が、こういう近道を見つけさせてくれる。