数学I / 図形と計量

三角形の形状の決定

最難関編正弦定理形状決定

問題

$△ A B C$ において $a cos A = b cos B$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か答えよ。

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正弦定理で $a, b$ を $sin A, sin B$ に置きかえると、両辺に2倍角の形が現れる。 $sin 2 A = sin 2 B$ を満たす角の関係は2通り( $2 A = 2 B$ か、和が $π$ )。それぞれ三角形の何を意味するか。

解答・解説

方針

正弦定理で辺を $sin$ に直すと $sin A cos A = sin B cos B$ 、すなわち $sin 2 A = sin 2 B$ 。三角方程式として一般解を書くと $2 A = 2 B$ か $2 A = π - 2 B$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 辺と角が混じった条件は、正弦定理で辺を角( $sin$ )にそろえると見通しがよい。

$a = 2 R sin A, b = 2 R sin B$ を代入すると $sin A cos A = sin B cos B$ 。左右とも $\frac{1}{2} sin 2 ∙$ の形だから、 $sin 2 A = sin 2 B$ になる。

$sin$ が等しい2つの角の関係は、「等しい」か「和が $π$ 」の2通り。それぞれを三角形の形に翻訳する。

定理正弦定理

a = 2 R sin A, b = 2 R sin B

(

R

は外接円の半径)

① 角にそろえる。 $a cos A = b cos B$ に正弦定理を代入し、両辺を $2 R$ で割ると

$sin A cos A = sin B cos B ⟺ \frac{1}{2} sin 2 A = \frac{1}{2} sin 2 B ⟺ sin 2 A = sin 2 B$

② 三角方程式を解く。 $0 < A, B < π$ より $0 < 2 A, 2 B < 2 π$ 。 $sin 2 A = sin 2 B$ となるのは

$2 A = 2 B または 2 A = π - 2 B$

③ 形に翻訳する。

$2 A = 2 B$ のとき $A = B$ 。2つの角が等しいから、 $a = b$ の二等辺三角形
$2 A = π - 2 B$ のとき $A + B = \frac{π}{2}$ 。残る角は $C = π - (A + B) = \frac{π}{2}$ 、すなわち $C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形

答えの2つの形。左: A=B の二等辺三角形(a=b)。右: C=90° の直角三角形。どちらか一方を満たせばよい(両方満たす直角二等辺もある)

よって $△ A B C$ は「 $A = B$ の二等辺三角形」または「 $C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形」。

まとめ: 辺を正弦定理で角にそろえ、 $sin 2 A = sin 2 B$ に持ち込む。 $sin$ が等しい=「角が等しい」か「和が $π$ 」の2通りを、両方書くのが要。形状決定は「どちらか」を落とした時点で誤答になる。

発展 — 一歩先へ。 2つの場合は排反ではない。 $A = B = 4 5^{\circ}$ の直角二等辺三角形は、両方の条件を同時に満たしている。「または」は「少なくとも一方」の意味で、重なりも許す。単位円で見れば、 $sin 2 A = sin 2 B$ は「 $2 A$ と $2 B$ が同じ高さ」で、同じ点か、 $y$ 軸対称の点かの2通りに対応する。

答

$A = B$ の二等辺三角形、または $C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形

別解

辺だけで押し切る(余弦定理ルート)。 $cos$ を辺で書き下ろして、正弦定理を使わずに解くこともできる。

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ 、 $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$ を条件式に代入し、両辺に $2 ab c$ を掛けると

$a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = b^{2} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$

展開して整理する。 $a^{2} b^{2}$ が消えて

$a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4} ⟺ c^{2} (a^{2} - b^{2}) = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})$

右辺に移項して因数分解:

$(a^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0$

よって $a = b$ (二等辺)または $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (三平方の逆で $C = 9 0^{\circ}$ )。

三角方程式の場合分けが、因数分解の2つの因数として現れる。ここで $(a^{2} - b^{2})$ を「両辺から割って」消してしまうと、二等辺の答えを自分で捨てることになる。因数の形のまま残すのが鉄則だ。

ポイント

正弦定理で $sin 2 A = sin 2 B$ 。
$2 A = 2 B$ か $2 A = π - 2 B$ 。
$A = B$ (二等辺)または $C = 9 0^{\circ}$ (直角)。

よくある間違い

$sin 2 A = sin 2 B$ から $2 A = 2 B$ だけを取り、「和が $π$ 」の枝を落とす。答えが半分になってしまう、この問題最大の罠。
別解で $(a^{2} - b^{2})$ を両辺から割る。 $a = b$ の場合が消える。0かもしれない式で割らず、因数分解して両方残す。
答えを「二等辺かつ直角」と書く。正しくは「または」(どちらか一方でよく、両方満たす直角二等辺も含む)。