数学I / 図形と計量

余弦定理(3辺から角を求める)

★ 基礎余弦定理角の決定

問題

$△ A B C$ において、 $B C = 7$ 、 $C A = 5$ 、 $A B = 3$ であるとき、 $∠ A$ の大きさを求めよ。

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3辺が全部わかっている。ここから角を出すには、辺だけで $cos$ を表せる関係を使う。分子で引くのは『求めたい角の真向かいの辺』の2乗 — どの辺かを図で確かめてから代入しよう。 $cos$ が負なら、その角は鋭角・鈍角どちら?

解答・解説

方針

3辺が全部わかっている。このときは余弦定理を $cos$ について解いた形を使って、角のほうを求める。

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ 。分子の形は『はさむ2辺の2乗の和 $-$ 対辺の2乗』。引くのがどれかを間違えないこと。

計算した $cos$ が負になったら、その角は鈍角だ。符号が角の種類まで教えてくれる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は $3$ 辺がすべて分かっていて、角を聞かれている。

余弦定理を角について解いた形を使う。

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

$a$ は求めたい角 $A$ の対辺( $B C = 7$ )、 $b$ と $c$ ははさむ $2$ 辺( $5$ と $3$ )。分子の引き算に来るのが対辺、ここを取りちがえないこと。

出た $cos A$ が負なら角は鈍角。負号を見て「計算ミスだ」と思わないように — $3$ 辺 $7, 5, 3$ は $7$ が飛び抜けて長く、その向かいは大きな角になるはずだ。

3辺が 7・5・3 の三角形(∠A は鈍角)

$a = B C = 7$ 、 $b = C A = 5$ 、 $c = A B = 3$ とおく。

公式余弦定理(角を求める形)

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

この式に代入する。分子で引くのは、求めたい角 $A$ の対辺 $a = 7$ の2乗だ。

$cos A = \frac{5 ^{2} + 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2}$

$cos A$ が負。この時点で $∠ A$ は鈍角だとわかる。 $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ で $cos A = - \frac{1}{2}$ になるのは

$∠ A = 12 0^{\circ}$

ここで前に習った『鈍角の三角比』が効く。 $cos A = - \frac{1}{2}$ を見て反射的に $6 0^{\circ}$ と答えたら、符号の見落としだ。

確かめ: $∠ A$ は最大の辺 $B C = 7$ の向かいの角。だからこの三角形で最も大きい角のはず。 $12 0^{\circ}$ という答えはそれと合っている。

発展 — 一歩先へ。 $a^{2}$ と $b^{2} + c^{2}$ の大小で角の種類が決まる、という判定は三平方の定理の拡張として整理できる( $a$ は最大辺とする)。

$a^{2} < b^{2} + c^{2}$ → 鋭角三角形
$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ → 直角三角形(三平方の定理)
$a^{2} > b^{2} + c^{2}$ → 鈍角三角形

余弦定理 $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ の分子の符号が、そのままこの判定になっている(分母 $2 b c$ は常に正)。 $1$ つの式が $3$ つの場合を統一的に説明する — これが定理を「三平方の一般化」と呼ぶゆえんだ。

なお $(3, 5, 7)$ は $∠ A = 12 0^{\circ}$ をもつ整数三角形で、 $a^{2} = b^{2} + b c + c^{2}$ ( $49 = 25 + 15 + 9$ )を満たす。 $6 0^{\circ}$ 版の $a^{2} = b^{2} - b c + c^{2}$ とペアで、整数論(アイゼンシュタイン整数)にもつながる美しい関係である。

答

$∠ A = 12 0^{\circ}$

別解

面積を先に出して $sin A$ から攻めるルートも見ておこう。ここには大事な落とし穴があり、それを知ることが本問の値打ちである。

手順1: ヘロンの公式で面積を出す。 $3$ 辺だけから面積が出る公式だ。 $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 5 + 3}{2} = \frac{15}{2}$ として

$S = s (s - a) (s - b) (s - c) = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{675}{16} = \frac{15 3}{4}$

手順2: 面積公式から $sin A$ を逆算する。 $S = \frac{1}{2} b c sin A$ に $b = 5$ 、 $c = 3$ を入れて

$\frac{15 3}{4} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot sin A ⟹ sin A = \frac{3}{2}$

手順3(ここが急所): $sin A = \frac{3}{2}$ だけでは角が決まらない。 $0^{\circ}$ 〜 $18 0^{\circ}$ には、これを満たす角が

$A = 6 0^{\circ} または A = 12 0^{\circ}$

の $2$ つが候補になる( $sin$ の方程式は解が $2$ 個、を思い出そう)。 $sin$ は鋭角と鈍角を区別できないのだ。

手順4: 鋭角か鈍角かを別の手段で決める。 三平方の定理との比較で判定する。

$a^{2} = 49, b^{2} + c^{2} = 25 + 9 = 34$

$a^{2} > b^{2} + c^{2}$ — 直角のとき( $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ )より対辺が長すぎる。つまり角 $A$ は直角より開いている。よって鈍角で $A = 12 0^{\circ}$ 。

教訓が $2$ つある。

$cos$ は符号だけで鋭角・鈍角を判定できる(正なら鋭角、負なら鈍角)。だから角を求めるときは $cos$ を使う余弦定理が第一選択。 $sin$ 経由は $2$ 通りの候補を残してしまう。
$a^{2}$ と $b^{2} + c^{2}$ の大小比較だけで、角の種類(鋭角・直角・鈍角)が分かる。 $3$ 辺を見た瞬間に $49 > 34$ と気づけば、答えが $12 0^{\circ}$ 側だと計算前に見当がつく。

ポイント

3辺既知なら $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ (余弦定理の変形)で角を求める
分子は『はさむ2辺の2乗の和 − 対辺の2乗』
$cos$ の符号で鋭角・直角・鈍角がただちに判定できる

よくある間違い

分子の引き算に対辺以外の辺を持ってきてしまう( $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ の $a$ は求める角の対辺)
$cos A$ が負になった時点で計算ミスだと思い込む(鈍角なら負が正しい)
$cos A = - \frac{1}{2}$ から $6 0^{\circ}$ と答える(符号を落として鋭角にしてしまう)