面積と内接円の半径(S=rs)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内接円の半径 $r$ は、内心から各辺への距離。そこで内心と3頂点を結んで、三角形を3つの小三角形に分割する。

どの小三角形も、底辺が元の三角形の1辺、高さが $r$。面積の和をとれば

$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs$ — 公式が図1枚から出る。

(2)は $3,4,5$ が直角三角形であることに気づけば $S=6,s=6$ が暗算で出て、$r=1$。

① $S=rs$ を示す。 内心 $\mathrm{I}$ から $3$ 辺に垂線を下ろすと、その長さはすべて $r$。三角形を $\mathrm{I}$ を頂点に $3$ つ($\mathrm{IBC},\mathrm{ICA},\mathrm{IAB}$)に分けると、それぞれ底辺 $a,b,c$、高さ $r$。面積の和が全体だから $$S=\frac{1}{2}r\cdot a+\frac{1}{2}r\cdot b+\frac{1}{2}r\cdot c=\frac{1}{2}r(a+b+c)=r\cdot \frac{a+b+c}{2}=rs.$$ ② $3,4,5$ の内接円。 $3^2+4^2=5^2$ より直角三角形。面積 $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$、半周 $s=\frac{3+4+5}{2}=6$。よって $$r=\frac{S}{s}=\frac{6}{6}=1.$$

まとめ 内心で $3$ 分割すると $S=rs$。$3,4,5$ では $S=6,s=6$ で $r=1$。面積と内接円の融合(面積の分割)。

発展 — 一歩先へ。 接線長 $s-a,s-b,s-c$ はヘロンの公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ の部品そのもの。さらに辺 $a$ 側の傍接円(1辺と2辺の延長に接する円)の半径は $r_a=\frac{S}{s-a}$ と、そっくりの形になる。$S=rs$ を起点に、$r,r_a,r_b,r_c$ と $s$ の美しい関係式の一族($\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$ など)が続いている。

別解

(2)を接線の長さで(直角三角形の専用公式)。 内接円が各辺に接する点で辺を分けると、同じ頂点からの2本の接線は等しい。頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ からの接線長を $x,y,z$ とすると

$$y+z=a,z+x=b,x+y=c⟹x=s-a,y=s-b,z=s-c$$

直角三角形($C=90^{\circ }$)では、$\mathrm{C}$ での接線2本と半径2本が正方形を作るから $r=z=s-c$。

$3,4,5$ なら $r=s-c=6-5=1$ — 面積を計算せずに1行で出る。

$S=rs$(本解)は万能の公式、$r=s-c$ は直角三角形専用の近道。接線長 $s-a,s-b,s-c$ という3つの量は、ヘロンの公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ の部品でもあり、覚えておくと三角形の計量の随所で再会する。