重心からの距離の2乗の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心は中線を $2:1$ に内分するから、$\mathrm{AG}=\frac{2}{3}{m}_a$($m_a$ は $\mathrm{A}$ から出る中線の長さ)。だから ${\mathrm{AG}}^2=\frac{4}{9}{m}_a^2$。

中線の長さは中線定理で辺の長さに直せる。$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$。

$3$ 本の中線について $\frac{4}{9}{m}_a^2$ を足す。$\sum m_a^2=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}$ となり、$\frac{4}{9}$ を掛けて $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$。

① $\mathrm{AG}$ を中線で表す。 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ の中点への中線を $m_a$ とすると、重心の性質より $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}{m}_a$。よって

$${\mathrm{AG}}^2=\frac{4}{9}{m}_a^2$$

同様に ${\mathrm{BG}}^2=\frac{4}{9}{m}_b^2$、${\mathrm{CG}}^2=\frac{4}{9}{m}_c^2$。

② 中線の $2$ 乗を辺で表す。 中線定理より

$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$$

$3$ 本を足すと、$a^2$ の係数は $-1+2+2=3$(他も同様)だから

$$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}$$

③ 仕上げる。

$${\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2=\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=\frac{4}{9}\cdot \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

(証明終)

まとめ:重心がらみの長さは「中線の $\frac{2}{3}$」に翻訳し、中線定理で辺の言葉に直す。$3$ 本足すと各辺が対等に効いて対称式になる。$\frac{4}{9}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{3}$ という係数の噛み合いが、きれいな結論を生む。

発展 — 一歩先へ。 ${\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$ は、重心が「$3$ 頂点からの距離の$2$乗和を最小にする点」であることの現れ(前に平面ベクトルで見た ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$ の最小)。物理では、この距離の$2$乗和が「重心まわりの慣性モーメント」に対応し、剛体の回りにくさを表す。

別解

別解 — 重心を原点にとって座標で示す(計算で確実なルート)。 重心 $\mathrm{G}$ を原点にとる。すると $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$(重心の定義)。

$${\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2=|\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GB}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GC}}{|}^2.$$

一方、辺の長さの$2$乗の和は $a^2+b^2+c^2=|\overrightarrow{\mathrm{GB}}-\overrightarrow{\mathrm{GC}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GC}}-\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GA}}-\overrightarrow{\mathrm{GB}}{|}^2$。展開すると

$$=2(|\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GB}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{GC}}{|}^2)-2(\overrightarrow{\mathrm{GA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GA}}).$$

ここで $|\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}{|}^2=0$ を展開すると、内積の和 $=-\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2+\cdots )$。代入すると $a^2+b^2+c^2=3({\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2)$。

中線定理(本解)を使わず、「重心からのベクトルの和が $\vec{0}$」を使うと、ベクトルの計算だけで示せる。$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$ が全ての鍵だ。