余弦定理(2辺と間の角から残りの辺)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられたのは $2$ 辺($AB=8$、$AC=5$)と、そのあいだの角($\angle A=60^{\circ }$)。

このとき使う道具は $1$ つに決まる — 余弦定理だ。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

「$2$ 辺とはさむ角 → 向かいの辺」がこの定理の役割である。正弦定理は「辺と対角のペア」が要るが、ここには対角のペアが $1$ 組もない。だから正弦定理では動けない。

どちらの定理を使うかは、与えられた情報の形で決まる。これが三角形の計量の入り口だ。

求めたい辺 $BC$ を $a$、はさむ2辺を $b$、$c$、間の角を $A$ とみて当てはめる。

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$

値を入れる。

$$B{C}^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-80\times \frac{1}{2}=89-40=49$$

$BC>0$ なので

$$BC=7$$

最後の平方根で $\pm 7$ と迷わなくていい。辺の長さは正、の一言で片づく。

検算のコツ。余弦定理は『三平方の定理の補正版』だ。$\angle A=60^{\circ }<90^{\circ }$ なら補正項 $-2bc\cos A$ が負に働くので、$B{C}^2$ は三平方の値 $8^2+5^2=89$ より小さくなるはず。確かに $49<89$ だ。角が $90^{\circ }$ ならちょうど三平方、鈍角なら三平方より大きくなる。この感覚は符号ミスの検出器として役立つ。

発展 — 一歩先へ。 $8$、$5$、$60^{\circ }$ から $7$ という整数が出たのは偶然ではない。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ のおかげで $2bc\cos A=bc$ となり、

$$a^2=b^2+c^2-bc$$

という整数だけの式になるからだ。$(b,c)=(8,5)$ で $64+25-40=49=7^2$。$60^{\circ }$ や $120^{\circ }$($\cos =-\frac{1}{2}$)を含む三角形は、こうして整数の辺の組が作りやすい。$(3,8,7)$ や $(5,8,7)$ は入試でもよく登場する「$60^{\circ }$ の三角形」である。

さらに一歩。ベクトルを学ぶと、余弦定理は

$$|\vec{b}-\vec{c}{|}^2=|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2-2\vec{b}\cdot \vec{c}$$

の言い換えだと分かる($\vec{b}\cdot \vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos A$)。三平方 → 座標 → ベクトルと表現を変えながら、同じ $1$ つの事実が姿を変えて現れる。

別解

余弦定理を「覚えた公式」でなく、座標に置いて三平方の定理で押し切る方法を見ておこう。公式を忘れても解けるし、余弦定理の正体も見えてくる。

頂点 $A$ を原点に置き、辺 $AB$ を $x$ 軸に重ねる。

• $A=(0,0)$
• $B=(8,0)$ ($AB=8$ を $x$ 軸方向に)
• $C$ は $A$ から距離 $5$、$x$ 軸との角 $60^{\circ }$ の位置。つまり

$$C=(5\cos 60^{\circ },5\sin 60^{\circ })=\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$$

あとは $2$ 点間の距離(三平方の定理)を計算するだけだ。

$$B{C}^2={\left(8-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left(\frac{11}{2}\right)}^2+\frac{75}{4}=\frac{121}{4}+\frac{75}{4}=\frac{196}{4}=49$$

$$BC=7$$

余弦定理と同じ答えになった。

ここで公式の正体が見える。 一般に $B=(c,0)$、$C=(b\cos A,b\sin A)$ と置くと

$$B{C}^2=(c-b\cos A{)}^2+(b\sin A{)}^2=c^2-2bc\cos A+b^2({\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A)=b^2+c^2-2bc\cos A$$

(${\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A=1$ を使った。)余弦定理は、座標に置いた三平方の定理そのものだったのだ。

$\angle A=90^{\circ }$ なら $\cos A=0$ で補正項が消え、$a^2=b^2+c^2$ — ただの三平方の定理に戻る。$-2bc\cos A$ は「直角からのズレの補正」。角が鋭角なら $\cos A>0$ で対辺は短くなり、鈍角なら $\cos A<0$ で対辺は長くなる — 図の直感と一致する。