2辺の和が一定のもとで面積を最大にする

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積の公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ で、$A=60^{\circ }$ は固定 — つまり $S$ は $bc$ に比例する。

問題は「$b+c=6$ のもとで積 $bc$ を最大にせよ」に変わった。

和が一定なら、積は等分で最大(相加相乗平均)。$b=c=3$ で $bc=9$、$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。

① 面積を $bc$ で。 $A=60^{\circ }$ より $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$、 $$S=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}bc.$$ ② $bc$ の最大。 $b+c=6$ 一定のとき、相加相乗平均から $$bc\le {\left(\frac{b+c}{2}\right)}^2=3^2=9,$$ 等号は $b=c=3$。

③ 面積の最大。 $$S_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\frac{9\sqrt{3}}{4}(b=c=3,\text{正三角形に近い二等辺}).$$

まとめ $S=\frac{\sqrt{3}}{4}bc$ で、$b+c=6$ のとき $bc$ 最大 $9$($b=c=3$)。面積の最大 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$。面積(三角比)と最大最小(相加相乗)の融合。

発展 — 一歩先へ。 「和が一定 → 等分で最大」は、周の長さ一定の長方形(正方形が最大)、$n$ 個の和一定の積($n$ 等分)へと一直線に一般化される。逆に「積 $bc$ 一定で和 $b+c$ を最小に」も同じ等号 $b=c$ — 相加相乗は両方向に使える1本の橋で、この双対の感覚が最適化の勘所になる。

別解

1文字消去して2次関数で(相加相乗を使わない)。 $c=6-b$($0<b<6$)を代入すると

$$bc=b(6-b)=-b^2+6b=-(b-3{)}^2+9$$

上に凸の放物線で、頂点 $b=3$(範囲内)で最大 $9$。よって $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\frac{9\sqrt{3}}{4}$、このとき $b=c=3$。

相加相乗(本解)は「和一定→積は等分で最大」の原理を一言で使い、2次関数は根拠を放物線の頂点として目に見える形で出す。等号条件($b=c$)が「頂点の位置」として現れる対応も、2つの道を並べると腑に落ちる。