正四角錐の体積と二面角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正四角錐は上下対称だから、頂点 P の真下は底面の正方形の中心 O だ。まず高さ $h=\mathrm{PO}$ を、直角三角形 P-O-(底面の頂点)で三平方から求める。体積はそれで出る。

二面角(側面と底面のなす角)は、底面の辺の中点 M を使う。辺に垂直な断面が直角三角形 P-O-M で、$\mathrm{OM}$ は中心から辺までの距離、$\mathrm{PM}$ は側面の高さ。$\cos \theta =\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{PM}}$ で測れる。

① 高さ。 底面の対角線は $6\sqrt{2}$ で、中心 O から頂点までは半分の $3\sqrt{2}$。側辺 $\mathrm{PA}=5$ の直角三角形 P-O-A で

$$h^2={\mathrm{PO}}^2=5^2-(3\sqrt{2}{)}^2=25-18=7,h=\sqrt{7}$$

② 体積。 底面積 $6^2=36$ より

$$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{7}=12\sqrt{7}$$

③ 二面角。 底面の辺の中点を M とすると、$\mathrm{OM}=3$(中心から辺までの距離 $=\frac{6}{2}$)。側面の高さは $\mathrm{PM}=\sqrt{{\mathrm{PO}}^2+{\mathrm{OM}}^2}=\sqrt{7+9}=4$。二面角 $\theta =\angle \mathrm{PMO}$ は直角三角形 P-O-M で

$$\cos \theta =\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{PM}}=\frac{3}{4}$$

まとめ: 垂線の足=中心、で高さを三平方から出すのが第一。二面角は「辺に垂直な断面(直角三角形 P-O-M)」で測る。立体の角度は、適切な断面に落とせば平面の計算になる。

発展 — 一歩先へ。 一般に、平面図形を角 $\theta$ だけ傾いた平面に正射影すると、面積は $\cos \theta$ 倍になる。二面角の計算はこの原理の逆用でもできて、複雑な立体では「影の面積 ÷ 実面積」が角度の測定器になる。

別解

影の面積で測る(正射影ルート)。 二面角を、長さの比でなく面積の比で測ることもできる。

側面 $△$PAB を、真上から底面に投影してみる。P は中心 O に落ち、A, B はそのまま。影は $△$OAB だ。

2つの三角形は底辺 AB($=6$)を共有し、高さだけが違う。側面の高さは $\mathrm{PM}=4$、影の高さは $\mathrm{OM}=3$。斜面が角 $\theta$ だけ傾いているとき、高さは $\cos \theta$ 倍に縮む($\mathrm{OM}=\mathrm{PM}\cos \theta$)。だから

$$\cos \theta =\frac{△\mathrm{OAB}}{△\mathrm{PAB}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3}{\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

「傾いた面の影は $\cos \theta$ 倍」という見方は、面積さえ分かれば角が出るので、断面の直角三角形が見つけにくい複雑な立体ほど威力を増す。