三角比の定義(直角三角形)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角比の定義は、角 $A$ から見た $3$ 辺の呼び名を決めるところから始まる。

• 斜辺: 直角の向かい($AB=5$)
• 対辺(向かい合う辺): $BC=3$
• 隣辺(はさむ辺): $CA=4$

$$\sin A=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\cos A=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\tan A=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$

どの角から見るかで、対辺と隣辺が入れ替わる — 角 $A$ の話をしているのに角 $B$ の対辺を使う、が最頻ミスである。

直角は $\angle C$。だから斜辺は向かいの $AB=5$ だ。

角 $A$ の位置に立ったつもりで、残り2辺を見分ける。

• 対辺(角 $A$ の真向かい): $BC=3$
• 隣辺(角 $A$ のとなり): $CA=4$

あとは定義の分数に入れるだけ。

$$\sin A=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$$

$$\cos A=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}=\frac{CA}{AB}=\frac{4}{5}$$

$$\tan A=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}=\frac{BC}{CA}=\frac{3}{4}$$

もし $\sin A=\frac{4}{5}$ としたら、角 $B$ から見た対辺と取りちがえている。図で『$A$ の向かいはどれ?』を指でさして確かめるとよい。

まとめ:最後に検算。$3^2+4^2=25=5^2$ だから、確かに $\angle C=90^{\circ }$ の直角三角形だ。${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ も成り立つ。この ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ は、次の問題で主役になる。

発展 — 一歩先へ。 $3:4:5$ は、辺の長さがすべて整数になる有名な直角三角形(ピタゴラス数)。$5:12:13$、$8:15:17$ も同じ仲間で、問題作りで好んで使われる — $\sin ,\cos$ が分数できれいに出たら、この三角形を疑ってよい。

三角比の値は三角形の大きさによらない。$3:4:5$ でも $6:8:10$ でも $\sin A=\frac{3}{5}$ で同じ — 相似な三角形は同じ三角比を持つからだ。だから三角比は「形(角度)だけで決まる量」であり、角度の情報を数値に翻訳する装置として働く。この性質が、測量や物理でこれほど使われる理由である。

別解

対辺・隣辺の取り違えを防ぐ、指差し確認の手順を紹介する。

角 $A$ の三角比を求める → 角 $A$ の頂点に指を置く。

1. 斜辺: 直角($C$)の向かい側の辺 — 三角形で最も長い $AB=5$。どの角を見ても斜辺は同じ。
2. 対辺: 指を置いた角 $A$ から、まっすぐ向かい側の辺 — $BC=3$。角 $A$ に触れていない辺だ。
3. 隣辺: 残り — $CA=4$。角 $A$ に触れている(斜辺以外の)辺。

$$\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\tan A=\frac{3}{4}$$

もし角 $B$ で聞かれたら — 対辺と隣辺が入れ替わる。$\sin B=\frac{4}{5}$、$\cos B=\frac{3}{5}$、$\tan B=\frac{4}{3}$。

$$\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$$

$A+B=90^{\circ }$(直角三角形だから)なので、これは $\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ という公式そのものだ。「サイン」と「コサイン」の "co" は complementary(余角)の意味 — $2$ つの角がペアで補い合っている。

検算は相互関係で。${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9+16}{25}=1$ ✓ — ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が成り立つ(三平方の定理の言い換え)。