余弦定理と対称式(b+c から2辺を決定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $AB+AC=5$。和だけ与えられて個別の辺は不明、という形は対称式のサインだ。

余弦定理に現れる $b^2+c^2$ を $(b+c{)}^2-2bc$ に書き換える。

すると余弦定理そのものが $bc$ の方程式に化ける。

「定理の式を対称式で読み替える」のが急所だ。

$a=BC=\sqrt{7}$、$b=CA$、$c=AB$ とおく。条件は $b+c=5$ だ。

(1) 余弦定理より

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

このまま眺めていても $b$、$c$ は個別にわからない。でも聞かれているのは積 $bc$ だ。そこで $b^2+c^2=(b+c{)}^2-2bc$ を代入して、式を『和と積の言葉』に翻訳する。

$$7=(b+c{)}^2-2bc-2bc\times \frac{1}{2}=25-3bc$$

よって $3bc=18$、すなわち

$$AB\cdot AC=bc=6$$

(2) 和 $b+c=5$ と積 $bc=6$ がそろった。『和と積がわかれば元の2数がわかる』。解と係数の関係により、$b$、$c$ は $t$ の2次方程式

$$t^2-5t+6=0\text{すなわち}(t-2)(t-3)=0$$

の2解だ。よって $\{b,c\}=\{2,3\}$ で、$AB<AC$($c<b$)より

$$AB=2,AC=3$$

どちらが $2$ でどちらが $3$ かは、方程式だけでは決まらない。問題文の大小条件で振り分ける、この最後の詰めを忘れないこと。

(3) 面積公式より

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

面積公式に入るのは積 $bc$ そのもの。(1)の結果がそのまま使えて、$b$、$c$ の個別の値は実は要らない。

振り返り。 この問題の核心は『余弦定理は $b^2+c^2$ と $bc$、つまり対称式だけでできている』という観察だ。だから和 $b+c$ が与えられた瞬間に、個別の辺がわからなくても方程式が回り出す。『求めたいものを直接追わず、和と積を追う』。対称式の考え方は、方程式の単元を出てもこうして生き続ける。

発展 — 一歩先へ。 この問題は「$\angle A$ と辺の和 $b+c$ を固定すると、向かいの辺 $a=BC$ はどこまで動けるか」と一般化できる。

$a^2=25-3bc$ で、$bc$ は相加相乗平均より $bc\le {\left(\frac{b+c}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$。等号は $b=c=\frac{5}{2}$ のときだ。

このとき $a^2$ は最小の $\frac{25}{4}$、つまり $a=\frac{5}{2}$。逆に $bc$ が $0$ に近づくと $a$ は $5$ に近づく。だから $a$ の動ける範囲は $\frac{5}{2}\le a<5$ で、$\sqrt{7}$ はちょうどこの中にある。

$b+c$ と $\angle A$ を固定したとき、向かいの辺が最短になるのは二等辺のとき。「和が同じなら差が小さいほど積が大きい」という相加相乗の感覚が、図形の長さにそのまま効いている。

別解

別解 — $c=5-b$ を代入して直接 $2$ 次方程式にするルート(苦手な人向けの素直な計算)。 積 $bc$ を経由せず、文字を $1$ つに減らして素直に解く。

$b=AC$、$c=AB$ とおくと $b+c=5$、だから $c=5-b$ と書ける。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので余弦定理は $B{C}^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }=b^2+c^2-bc$。ここへ $c=5-b$ を入れる。

$$b^2+(5-b{)}^2-b(5-b)=7.$$

左辺を展開すると $3b^2-15b+25$ だから

$$3b^2-15b+25=7⟹b^2-5b+6=0⟹(b-2)(b-3)=0.$$

$b=2$ または $b=3$。$AB<AC$ より $AB=2$、$AC=3$。

すると $AB\cdot AC=6$、面積は $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。対称式で積 $bc$ を先に取り出す本解と、同じ答えに至る。