数学I / 図形と計量

対辺が等しい四面体の体積

最難関編空間図形体積

問題

四面体 ABCD において、 $AB = CD = 5$ 、 $AC = BD = 10$ 、 $AD = BC = 13$ が成り立つ。この四面体の体積を求めよ。

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対辺が3組とも等しい四面体は、直方体の「4つの頂点を1つおきに選んだもの」として作れる。直方体の辺を $p, q, r$ とすると、四面体の各辺は面対角線 $p^{2} + q^{2}$ などになる。3つの2乗の値から $p, q, r$ を求められるか。

解答・解説

方針

3組の対辺がそれぞれ等しい四面体は、直方体の対角(面対角線)として埋め込める。直方体の辺を $p, q, r$ とし、面対角線の2乗が $p^{2} + q^{2}$ 等になることから $p, q, r$ を決める。体積は直方体の $\frac{1}{3}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「3組の対辺がそれぞれ等しい」という強い対称性は、直方体への埋め込みを示唆する。直方体の8頂点から1つおきに4頂点を選ぶと四面体ができ、その6辺はちょうど直方体の面対角線(3種類が2本ずつ)になるからだ。

直方体の辺を $p, q, r$ とすれば、四面体の辺の2乗は $p^{2} + q^{2}, q^{2} + r^{2}, r^{2} + p^{2}$ 。与えられた $5, 10, 13$ をこれに対応させて $p, q, r$ を求める。

体積は「直方体から四隅の三角錐4つを切り落とす」と直方体の $\frac{1}{3}$ になる。

重要対辺が3組とも等しい四面体は直方体に内接。四面体の体積は直方体の体積の

\frac{1}{3}

(四隅の直角三角錐4個を除く)

① 直方体の辺を求める。 辺 $p, q, r$ の直方体で、面対角線の2乗は $p^{2} + q^{2}, q^{2} + r^{2}, r^{2} + p^{2}$ 。これらが $5, 10, 13$ (順不同)だ。3式を全部足すと

$2 (p^{2} + q^{2} + r^{2}) = 5 + 10 + 13 = 28 ⟺ p^{2} + q^{2} + r^{2} = 14$

各辺の2乗は、 $14$ から対応する面対角線の2乗を引けば出る。 $p^{2} = 14 - 13 = 1, q^{2} = 14 - 10 = 4, r^{2} = 14 - 5 = 9$ 。すなわち $p = 1, q = 2, r = 3$ 。

② 体積。 直方体の体積は $pq r = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ 。四面体はその $\frac{1}{3}$ だから

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$

3組の対辺が等しい四面体 ABCD(AB=CD=√5, AC=BD=√10, AD=BC=√13)。各辺を直方体(1×2×3)の面対角線とみて埋め込むと、体積は直方体の 1/3 で 2

まとめ: 対辺が等しい四面体を直方体に埋め込む。これが最大の急所だ。面対角線の2乗の和から $p^{2} + q^{2} + r^{2}$ を出し、各辺を引き算で逆算する。体積は直方体の $\frac{1}{3}$ で一気に出る。

発展 — 一歩先へ。 この四面体は4つの面がすべて合同(等面四面体)になっている。「対辺が3組等しい ⟺ 直方体に埋め込める ⟺ 4面が合同」で、しかも各面は必ず鋭角三角形になる。直方体という「箱」が、この立体の性質をすべて教えてくれる。

答

$2$

別解

四隅を実際に切り落とす(体積 1/3 の種明かし)。 「直方体の $\frac{1}{3}$ 」を公式として使わず、その場で確かめよう。

$1 \times 2 \times 3$ の直方体から四面体 ABCD を取り出すと、残りは「隅の三角錐」4個だ。どの隅の三角錐も、直方体の1つの頂点に集まる3辺( $1, 2, 3$ )を直交する3辺としてもつ。だから1個の体積は

$\frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2) \times 3 = 1$

(底面は直角三角形で面積 $1$ 、高さ $3$ 。)これが4個で $4$ 。よって

$V = 6 - 4 \times 1 = 2$

一般の $p, q, r$ でも同じ計算で、隅1個は $\frac{1}{6} pq r$ 、4個で $\frac{2}{3} pq r$ 。残る四面体は $pq r - \frac{2}{3} pq r = \frac{1}{3} pq r$ になる。「 $\frac{1}{3}$ 」の正体は、この四隅の切り落としだ。

ポイント

対辺が等しい → 直方体に内接( $1 \times 2 \times 3$ )。
面対角線の2乗和 $= 2 (p^{2} + q^{2} + r^{2}) = 28$ 。
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ 。

よくある間違い

どの長さがどの面対角線に対応するか、で悩み続ける。3式の和 $2 (p^{2} + q^{2} + r^{2}) = 28$ から入れば、対応を決めなくても各辺が引き算で決まる。
四面体の体積を直方体の $\frac{1}{2}$ と思い込む。切り落とす隅は4個あり、残りは $\frac{1}{3}$ 。
面対角線と空間対角線( $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 14$ )を混同する。四面体の辺になるのは面対角線。