内接円の半径

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 辺が $3,4,5$ — $3^2+4^2=5^2$ なので、これは直角三角形だ。まずこれに気づく。

(1) 直角をはさむ $2$ 辺が底辺と高さになるので、面積は素直に出る。

(2) 内接円の半径 $r$ は、面積を $2$ 通りに表すと出る。

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$

なぜこうなるか。内心 $I$ と各頂点を結ぶと、三角形が $3$ つの小三角形に分かれる。どれも底辺が三角形の辺、高さが $r$(内接円は各辺に接するから、中心から辺までの距離が $r$)。その面積を足すだけだ。

「面積を $2$ 通りで表して等式にする」 — これは図形分野の強力な常套手段である。

(1) $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ なので、三平方の定理の逆から、これは長さ $3,4$ の2辺が直角をはさむ直角三角形だ。よって

$$S=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$$

$3:4:5$ を見た瞬間に直角三角形を疑う。有名な比は覚えておくと初動が速い。

(2) 内接円の半径を $r$ とする。内心(内接円の中心)と3つの頂点を結ぶと、三角形は3つの小三角形に分かれる。ここが見せ場だ。それぞれの小三角形は、元の三角形の各辺を底辺とし、高さがすべて $r$(内接円は各辺に垂直に接しているから)。だから面積の和は

$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot r+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot r+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot r=\frac{1}{2}r(3+4+5)=6r$$

同じ面積を、(1)では直接、(2)では $r$ 経由で表した。2つをイコールで結ぶ。(1)より $S=6$ なので

$$6r=6\text{よって}r=1$$

まとめ:公式 $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ は、この『3分割』の絵ごと覚えるとよい。導き方がわかれば、$\frac{1}{2}$ を落とすこともない。

発展 — 一歩先へ。 $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs$($s$ は周の半分)という関係は、内接円をもつ図形なら三角形以外でも成り立つ。$n$ 角形に内接円があるなら、中心と各頂点を結んで $n$ 個の三角形に分ければ、同じ議論で

$$S=\frac{1}{2}r\times (\text{周の長さ})$$

となる。円そのものを「辺が無限に多い多角形」と見れば、周 $2\pi r$ を代入して $S=\frac{1}{2}r\cdot 2\pi r=\pi r^2$ — 円の面積公式まで同じ形で説明できる。

なお $3,4,5$ の直角三角形は、外接円の半径も簡単だ。直角三角形の斜辺は外接円の直径(タレスの定理)なので $R=\frac{5}{2}$。正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=2R$ に $C=90^{\circ }$($\sin C=1$)を入れても $2R=5$ と同じ結果になる。内接円は面積から、外接円は正弦定理から — $2$ つの円の求め方をセットで覚えておきたい。

別解

直角三角形に限れば、面積を使わずに $r$ が出る。接線の長さを数えるだけの、絵で分かるルートだ。

直角の頂点を $C$($\angle C=90^{\circ }$)、$a=BC=3$、$b=CA=4$、$c=AB=5$ とする。内接円が $3$ 辺と接する点を考える。

手順1: 直角のかどは正方形になる。 内心 $I$ から辺 $CA$、$CB$ に下ろした垂線の長さはどちらも $r$。$\angle C=90^{\circ }$ だから、$C$・接点 $2$ つ・$I$ の $4$ 点は、$1$ 辺 $r$ の正方形をつくる。

つまり、頂点 $C$ から $2$ つの接点までの距離は、どちらも $r$ である。

手順2: 接線の長さは等しい。 円外の $1$ 点から引いた $2$ 本の接線の長さは等しい($A$ から引いた $2$ 本、$B$ から引いた $2$ 本、それぞれ同じ長さ)。$A$ からの接線の長さを $x$、$B$ からの接線の長さを $y$ とすると、$3$ 辺は接点で次のように分割される。

$$b=CA=r+x=4,a=CB=r+y=3,c=AB=x+y=5$$

手順3: 足して引く。 上の $3$ 式で、前の $2$ 式を足すと

$$(r+x)+(r+y)=2r+(x+y)=2r+c$$

左辺は $a+b$ だから

$$a+b=2r+c⟹r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$$

面積の答えと一致した。

$r=\frac{(\text{直角をはさむ }2\text{ 辺の和})-(\text{斜辺})}{2}$ — 直角三角形専用だが、$3$ 辺を見た瞬間に暗算で $r$ が出る。$3+4-5=2$、半分で $1$。

一般の三角形では、面積を使う $r=\frac{S}{s}$($s$ は周の半分)が万能だ。今回は $s=\frac{3+4+5}{2}=6$、$S=6$ で $r=\frac{6}{6}=1$ ✓ — $2$ つの道が同じ答えに着くことを確かめておきたい。