正四面体の計量(角・高さ・体積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正四面体を前に、まずどこを切るかを決める。

中点 $M$ を通る対称面 $△AMD$ で切る。この $1$ 枚に、必要な量が全部乗る。

高さも体積も、この断面の中の直角三角形の計算に帰着する。

(1) $△ABC$ は1辺 $6$ の正三角形なので、中線 $AM$ は $BC$ と垂直に交わる。直角三角形 $ABM$ で三平方の定理より

$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$

同じように $△DBC$ で $DM=3\sqrt{3}$ だ。これで断面 $△AMD$ の3辺 $AM=DM=3\sqrt{3}$、$AD=6$ がそろった。3辺から角を求めるのだから余弦定理だ。

$$\cos \angle AMD=\frac{A{M}^2+D{M}^2-A{D}^2}{2\cdot AM\cdot DM}=\frac{27+27-36}{2\times 27}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$$

(この角は、正四面体の『辺 $BC$ を折り目とする面と面のなす角』、つまり二面角と呼ばれる量だ。断面を取ると、立体の角がただの三角形の角になる。これが最初に言った考え方の意味だ。)

(2) 垂線の足を $H$ とする。$H$ の位置を特定するのが、この小問の核心だ。$AB=AC=AD$ なので、$H$ は $B$、$C$、$D$ から等距離、つまり $△BCD$ の外心。そして正三角形では外心と重心が一致するので、$H$ は $△BCD$ の重心だ。

重心は中線 $DM$ を頂点から $2:1$ に内分するので

$$DH=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$

直角三角形 $ADH$ で三平方の定理より

$$h=AH=\sqrt{A{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$

(3) 底面 $△BCD$ は1辺 $6$ の正三角形なので

$$△BCD=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \sin 60^{\circ }=18\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$$

よって体積は

$$V=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}$$

振り返り。 使った道具は三平方・余弦定理・重心の性質・体積公式と、どれも単体では基本レベルだ。難しさは道具ではなく『どの平面を切り出すか』『$H$ がどこに落ちるか』という空間の見取りにあった。特に『等距離 → 外心 → (正三角形なら)重心』という筋道は、正四面体に限らず対称性のある立体すべてで通用する。結果の $2\sqrt{6}$ より、この筋道を持ち帰ってほしい。

発展 — 一歩先へ。 $(1)$ で求めた $\cos \angle AMD=\frac{1}{3}$ は、辺 $BC$ を折り目とする面 $ABC$ と面 $DBC$ のなす角、いわゆる二面角だ。

正四面体には、もう $1$ つ有名な角がある。全体の中心から $2$ 頂点を見込む角で、その余弦は $-\frac{1}{3}$。この角 $\approx 109.5^{\circ }$ は、化学でメタン分子の結合角として現れる。$2$ つの角の余弦が $\frac{1}{3}$ と $-\frac{1}{3}$、和がちょうど $180^{\circ }$ になるのは偶然ではない。

体積のほうも、$1$ 辺 $a$ の正四面体では $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$ という一般公式にまとまる。$a=6$ を入れると $\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 216=18\sqrt{2}$ で、確かに一致する。

別解

別解 — 座標を置いて成分計算で押すルート(得意な人向けの視点)。 底面 $△BCD$ を水平面に置き、すべて成分で計算する。

$M$ を原点にとり $B=(-3,0,0)$、$C=(3,0,0)$ とすると $BC=6$、$M$ は中点になる。$D$ は $△BCD$ が正三角形になる位置 $(0,3\sqrt{3},0)$($DB=\sqrt{9+27}=6$)。頂点 $A$ は底面の重心の真上にあり、$A=(0,\sqrt{3},2\sqrt{6})$ とおくと $AB=\sqrt{9+3+24}=6$ を満たす。

$M=(0,0,0)$ から見て $\overrightarrow{MA}=(0,\sqrt{3},2\sqrt{6})$、$\overrightarrow{MD}=(0,3\sqrt{3},0)$。

$$\cos \angle AMD=\frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MD}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MD}|}=\frac{0+\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}+0}{3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}.$$

高さは $A$ の $z$ 座標そのもので $h=2\sqrt{6}$(底面が $z=0$、$A$ がその真上だから)。体積は $\frac{1}{3}\cdot △BCD\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=18\sqrt{2}$。断面と重心で攻める本解と、同じ値になる。