三角比を含む方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角比の方程式は、$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で、その値になる角をすべて探すのが仕事だ。

急所は解の個数である。

• $\sin$ の方程式: 上半円で同じ高さの点は左右に $2$ つある($\theta$ と $180^{\circ }-\theta$)→ 解が $2$ 個になりやすい
• $\cos$ の方程式: $x$ 座標は $180^{\circ }$ まで単調に減るので、同じ値の点はただ $1$ つ → 解は $1$ 個

(1)の $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は $30^{\circ }$ と $150^{\circ }$ の $2$ 個。$150^{\circ }$ を忘れるのが最頻ミスである。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ の範囲で、半円上の点の座標を手がかりに考える。

(1) $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、半円上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ になる角。高さ $\frac{1}{2}$ の水平線を引くと、半円と2か所で交わる。鋭角側の $\theta =30^{\circ }$ と、対称な鈍角側 $\theta =150^{\circ }$($\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }$)だ。

$$\theta =30^{\circ },150^{\circ }$$

$30^{\circ }$ だけ答えて鈍角側を落とすのが、この型で最も多いミス。『$\sin =c$($0<c<1$)は解2つ』と、交点の個数で覚えたい。

(2) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ は、$x$ 座標が $-\frac{1}{2}$ になる角。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので、$\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ より

$$\theta =120^{\circ }$$

こちらは解が1つだけ。$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ では $x$ 座標は $1$ から $-1$ へ一方通行で動くので、縦線は1回しか交わらない。$\sin$ と $\cos$ で解の個数がちがう、という対比を図で押さえておく。

(3) $\tan \theta =-1$。$\tan 45^{\circ }=1$ なので、$\tan 135^{\circ }=-\tan 45^{\circ }=-1$ より

$$\theta =135^{\circ }$$

まとめ:$\tan$ が負になるのは鈍角のとき。符号から『答えは鈍角側』と当たりをつけてから探すと速い。

発展 — 一歩先へ。 $\cos$ の解が $1$ 個なのは、$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ で $\cos$ が単調減少($1$ から $-1$ へ一直線に減る)だからだ。単調な関数は、同じ値を $2$ 度とらない — 単調性が解の一意性を保証する、という論理は数学全体で使われる。

一方 $\sin$ は $90^{\circ }$ で最大 $1$ をとる山型なので、同じ値を $2$ 度とる。だから解が $2$ 個。関数の増減の形が、方程式の解の個数を決める — $2$ 次関数のグラフと $x$ 軸の交点の議論と同じ構図が、ここにも現れている。

数IIで角の範囲を $0^{\circ }$〜$360^{\circ }$ に広げると、$\cos$ の方程式も解が $2$ 個になる(下半円にも交点ができる)。解の個数は、考える範囲によって変わる — 範囲の確認が常に最初の一手である。

別解

解の個数を単位円の絵で確定させれば、書き漏らしが構造的になくなる。

(1) $\sin \theta =\frac{1}{2}$ のとき。 $\sin$ は $y$ 座標だ。上半円で「高さが $\frac{1}{2}$」の点を探す。水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引くと、円と $2$ か所で交わる(右上と左上)。

$$\theta =30^{\circ },150^{\circ }$$

水平線は円を $2$ 回切る — だから $\sin$ の方程式は解が $2$ 個になる(値がちょうど $1$ のときだけ $1$ 個)。

(2) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ のとき。 $\cos$ は $x$ 座標だ。「横位置が $-\frac{1}{2}$」の点を探す。垂直線 $x=-\frac{1}{2}$ を引くと、上半円では $1$ か所しか交わらない(下半分の交点は範囲外)。

$$\theta =120^{\circ }$$

垂直線は上半円を $1$ 回だけ切る — だから $\cos$ の方程式は解が $1$ 個だ。

(3) $\tan \theta =-1$ のとき。 $\tan$ が負なので鈍角だと分かる。$\tan 45^{\circ }=1$ だから、補角の $135^{\circ }$ で $\tan 135^{\circ }=-1$ となる。

$$\theta =135^{\circ }$$

「$\sin$ は水平線で $2$ 交点、$\cos$ は垂直線で $1$ 交点」 — この絵を持てば、解の個数で悩まない。$\sin$ の問題で答えを $1$ つしか書かない、という減点が消える。

検算は代入で。$\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ ✓ — 補角の公式が、もう $1$ つの解の存在を保証している。