180°−θ・90°−θ の公式で鋭角の三角比に直す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「鋭角の三角比で表せ」— $180^{\circ }-\theta$ の公式を使って、角を $90^{\circ }$ 未満に落とす。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

(1) $160^{\circ }=180^{\circ }-20^{\circ }$ → $\sin 160^{\circ }=\sin 20^{\circ }$(符号そのまま)

(2) $110^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }$ → $\cos 110^{\circ }=-\cos 70^{\circ }$(マイナス)

計算の中身は「$180$ から引く」だけ。$\sin$ は符号そのまま、$\cos$ と $\tan$ はマイナス — この $1$ 行を守れば終わる。

(1) $160^{\circ }=180^{\circ }-20^{\circ }$ なので

$$\sin 160^{\circ }=\sin (180^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$$

図で納得しておく。$20^{\circ }$ と $160^{\circ }$ の点は、$y$ 軸をはさんで左右対称の位置にある。高さ($y$ 座標 $=\sin$)は同じ。だから $\sin$ にマイナスはつかない。

(2) $110^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }$ なので

$$\cos 110^{\circ }=\cos (180^{\circ }-70^{\circ })=-\cos 70^{\circ }$$

左右対称の点では、$x$ 座標($=\cos$)は符号だけ反転する。だからマイナスがつく。

(3) $95^{\circ }=180^{\circ }-85^{\circ }$ なので

$$\tan 95^{\circ }=\tan (180^{\circ }-85^{\circ })=-\tan 85^{\circ }$$

まとめ:なお、$90^{\circ }-\theta$ の公式も使うと、(2)は $-\cos 70^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$ とも書ける。表し方は1通りではない。鋭角の三角比で表せていれば、どの形でも正解だ。

発展 — 一歩先へ。 $90^{\circ }-\theta$ の公式($\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ など)も、あわせて押さえたい。こちらは余角の関係で、直角三角形の $2$ つの鋭角の関係($A+B=90^{\circ }$)そのものだ。

• 補角 $180^{\circ }-\theta$: $\sin$ は不変、$\cos$・$\tan$ は符号反転($2$ 直角から引く)
• 余角 $90^{\circ }-\theta$: $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる($1$ 直角から引く)

$2$ つの公式は役割が違う。補角は「鈍角を鋭角に直す」、余角は「$\sin$ と $\cos$ を行き来する」— どちらも単位円の対称性(左右反転・対角線反転)から導ける。単位円 $1$ 枚が、公式群の生成装置である。

別解

符号の $◯\times$ を、単位円の象限で判定すると確実だ。

$0^{\circ }$〜$180^{\circ }$ の角は、単位円の上半分にいる。$90^{\circ }$ を境に $2$ つの象限に分かれる。

鈍角($90^{\circ }$ 超)では $\cos$ と $\tan$ が負、$\sin$ は正のまま。

これを $3$ 問に当てはめる。

• (1) $160^{\circ }$ は鈍角 → $\sin$ は正 → $\sin 160^{\circ }=+\sin 20^{\circ }$
• (2) $110^{\circ }$ は鈍角 → $\cos$ は負 → $\cos 110^{\circ }=-\cos 70^{\circ }$
• (3) $95^{\circ }$ は鈍角(かろうじて $90^{\circ }$ 超)→ $\tan$ は負 → $\tan 95^{\circ }=-\tan 85^{\circ }$

「符号は象限で決まる、大きさは補角($180^{\circ }$ から引いた角)で決まる」 — この $2$ 段で考えれば、公式を $3$ つ覚える必要はない。

(3)の $95^{\circ }$ は $90^{\circ }$ をわずかに超えただけだが、$\tan$ の符号は急激に反転する($\tan 89^{\circ }\approx 57$、$\tan 91^{\circ }\approx -57$)。$\tan 90^{\circ }$ は定義されない — $\cos 90^{\circ }=0$ で分母が $0$ になるからだ。$90^{\circ }$ 付近の $\tan$ の激変は、単位円で $x$ 座標が $0$ を横切ることの現れである。