90°−θ の公式を使う式の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $10^{\circ }$ も $80^{\circ }$ も、値を知らない角だ。「表にない角だから解けない」と思ったら、角どうしの関係に目を向ける。

$10^{\circ }+80^{\circ }=90^{\circ }$。$20^{\circ }+70^{\circ }=90^{\circ }$。$25^{\circ }+65^{\circ }=90^{\circ }$。どれも和が $90^{\circ }$ だ。

和が $90^{\circ }$ の2角には、$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ などの書き換え規則がある。片方を書き換えれば、相互関係や逆数の関係に持ち込める。

(1) $80^{\circ }=90^{\circ }-10^{\circ }$ なので $\sin 80^{\circ }=\cos 10^{\circ }$ と書きかえられる。すると

$${\sin }^{2}10^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }={\sin }^{2}10^{\circ }+{\cos }^{2}10^{\circ }=1$$

${\sin }^{2}10^{\circ }$ の値は最後までわからないままだが、相互関係が『2つ合わせれば $1$』を保証してくれる。

(2) $70^{\circ }=90^{\circ }-20^{\circ }$ なので $\tan 70^{\circ }=\frac{1}{\tan 20^{\circ }}$ だ($\tan$ は逆数になる。$\sin$ と $\cos$ が入れかわるから)。よって

$$\tan 20^{\circ }\tan 70^{\circ }=\tan 20^{\circ }\times \frac{1}{\tan 20^{\circ }}=1$$

掛けた瞬間に約分されて消える。

(3) $65^{\circ }=90^{\circ }-25^{\circ }$ なので $\cos 65^{\circ }=\sin 25^{\circ }$ だ。よって

$${\cos }^{2}25^{\circ }+{\cos }^{2}65^{\circ }={\cos }^{2}25^{\circ }+{\sin }^{2}25^{\circ }=1$$

まとめ:どの問題も、半端な角を見て固まるのではなく『2つの角を足してみる』のが突破口だった。$90^{\circ }$(や $180^{\circ }$)になる組を見つけたら公式の出番、と覚えておく。

発展 — 一歩先へ。 $90^{\circ }-\theta$ の公式群は「同じ直角三角形を反対の角から見ただけ」、$180^{\circ }-\theta$ の公式群は「単位円で左右対称の点」。出どころの絵が違う2家族だ、と整理しておくと混同が消える。

$\cos$(コサイン)の「コ」は余角(complementary angle)の頭文字で、$\cos \theta =\sin (90^{\circ }-\theta )$ という関係が名前の由来になっている。

別解

公式を経由せず、1つの直角三角形の絵だけで見抜くこともできる。

直角三角形の2つの鋭角は、足すと $90^{\circ }$。つまり $10^{\circ }$ と $80^{\circ }$ は、同じ直角三角形の2つの角として同居できる。

3辺を $a$(対辺)、$b$(隣辺)、$c$(斜辺)とすると、$\sin 10^{\circ }=\frac{a}{c}$、$\sin 80^{\circ }=\frac{b}{c}$。だから

$${\sin }^{2}10^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$$

最後の $=1$ は三平方の定理そのものだ。

(2)も同じ三角形で $\tan 20^{\circ }=\frac{a}{b}$、$\tan 70^{\circ }=\frac{b}{a}$。掛ければ約分されて $1$。

「和が $90^{\circ }$ の2角=1つの直角三角形の2つの見方」。この絵を持っておくと、公式の暗記が絵の読み取りに変わる。