測量への応用(2地点からの測角と仰角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間の測量は $2$ 枚の平面に分解する。「地面の三角形」と「鉛直の直角三角形」だ。

各平面に落とせば、ただの既習問題になる。

地面で正弦定理を使って $AC$ を出す。それを鉛直三角形の底辺として、高さへつなぐ。

$2$ 枚の平面を「共有する辺 $AC$」で接続する。この設計図を最初に描く。

まず地面の三角形で AC を求める。

まずは地面だけを真上から見る。塔のことはいったん忘れていい。$△ABC$ の内角の和より

$$\angle ACB=180^{\circ }-75^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$$

2つの角と1辺がわかっている(そして求めたい $AC$ の対角 $\angle ABC=60^{\circ }$、既知の辺 $AB=100$ の対角 $\angle ACB=45^{\circ }$ とペアがそろう)ので、正弦定理の出番だ。

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}$$

$$AC=\frac{100\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=100\times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{100\sqrt{6}}{2}=50\sqrt{6}(\mathrm{m})$$

次に鉛直の直角三角形で高さを求める。

ここで視点を切りかえる。今度は $A$ と塔を含む鉛直な平面を、真横から見る。塔の先端を $T$、高さを $h=CT$ とすると、塔は地面に垂直なので $△TAC$ は $\angle TCA=90^{\circ }$ の直角三角形で、$A$ での仰角が $30^{\circ }$ だ。高さと水平距離を結ぶのは $\tan$ だから

$$h=AC\tan 30^{\circ }=50\sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{3}}=50\sqrt{2}(\mathrm{m})$$

($\sqrt{2}=1.41\dots$ より約 $70.7\mathrm{m}$ だ。)

振り返り。 実際の測量もこの手順そのものだ。地上で2地点間の距離と角を測り(手順1)、仰角から高さを計算する(手順2)。直接登れない塔の高さが、巻尺と分度器だけで求まる。正弦定理と三角比が『測れないものを測る』道具であることを実感できる問題だ。空間図形はいつでも『どの平面を見るか』の宣言から始めること。

発展 — 一歩先へ。 正弦定理の比 $\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ の値は、じつは地面の三角形 $ABC$ の外接円の直径 $2R$ に等しい。

いまは $\frac{100}{\sin 45^{\circ }}=100\sqrt{2}$ だから、地面の三角形の外接円の半径は $R=50\sqrt{2}$。$3$ つの辺 $AC,BC,AB$ はすべて、この同じ外接円を通して角と結びついている。だから一辺と二角が分かれば、残りの辺が芋づる式に出る。

空間の測量は「水平面で位置を、鉛直面で高さを」という二段構えが骨格だ。測る角や距離の組み合わせは何通りもあり、どの組から入っても同じ塔にたどり着く。この柔軟さが、直接は登れない高さを測れる理由になっている。

別解

別解 — 垂線を下ろして直角三角形だけで $AC$ を出すルート(正弦定理を使わない)。 地面の $△ABC$ で、$C$ から辺 $AB$ に垂線を下ろし、足を $H$ とする。$\angle CAB=75^{\circ }$、$\angle CBA=60^{\circ }$ はどちらも鋭角なので、$H$ は $A$ と $B$ のあいだにある。

直角三角形 $ACH$ で $AH=AC\cos 75^{\circ }$、$CH=AC\sin 75^{\circ }$。直角三角形 $BCH$ で $BH=\frac{CH}{\tan 60^{\circ }}=\frac{AC\sin 75^{\circ }}{\sqrt{3}}$。

$AH+BH=AB=100$ だから

$$AC\cos 75^{\circ }+\frac{AC\sin 75^{\circ }}{\sqrt{3}}=100⟹AC\left(\cos 75^{\circ }+\frac{\sin 75^{\circ }}{\sqrt{3}}\right)=100.$$

ここで $\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ を入れると、カッコの中はきれいに $\frac{\sqrt{6}}{3}$ にまとまる。よって $AC=\frac{100\cdot 3}{\sqrt{6}}=50\sqrt{6}$。

あとは鉛直の直角三角形で $h=AC\tan 30^{\circ }=\frac{50\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=50\sqrt{2}$。正弦定理で $AC$ を出す本解と、同じ答えに届く。