三角比の相互関係(sin から cos・tan)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 使う道具は相互関係

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ を代入すると ${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$、よって $\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$。

ここで符号を決める — $\theta$ は鋭角(問題文にある)なので $\cos \theta >0$、だから $\frac{4}{5}$。

$\pm$ のまま答えるのが最頻ミス。角の範囲を必ず確認して符号を確定する — これが三角比の計算の作法である。

まず $\cos \theta$。 相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を ${\cos }^2$ について解く。

$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

ここで $\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$ の2択が出る。2乗の情報だけでは符号が決まらないからだ。決め手は『$\theta$ は鋭角』。鋭角なら $\cos \theta >0$ なので

$$\cos \theta =\frac{4}{5}$$

次に $\tan \theta$。 $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ に入れる。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3}{5}÷\frac{4}{5}=\frac{3}{5}\times \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$$

この答えは、辺が $3,4,5$ の直角三角形を思いうかべると確かめられる。$\sin \theta =\frac{3}{5}$ は、まさにこの三角形の話だ。

発展 — 一歩先へ。 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ は、三平方の定理そのものだ。斜辺 $1$ の直角三角形を描けば、対辺が $\sin \theta$、隣辺が $\cos \theta$ — $3$ 平方で ${\sin }^2+{\cos }^2=1^2$。「相互関係」という名前だが、中身は中学の定理である。

この式は角度が何であれ成り立つ($90^{\circ }$ でも、鈍角でも、数IIで学ぶ $360^{\circ }$ 超でも)。単位円($x^2+y^2=1$)の上の点が $(\cos \theta ,\sin \theta )$ だから、円の方程式がそのまま相互関係になっている — 三角比の理論は、単位円の幾何学である。

別解

計算せず、直角三角形を描いて三平方で解くこともできる — こちらは符号の迷いが原理的に起きない。

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ とは「対辺 $3$、斜辺 $5$」の直角三角形があるということ($\theta$ は鋭角なので、実際にそういう三角形が描ける)。

残りの隣辺は三平方の定理で

$$\text{隣辺}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

$3$–$4$–$5$ の三角形だ。$3$ 辺が揃えば、定義から直接読める。

$$\cos \theta =\frac{4}{5},\tan \theta =\frac{3}{4}$$

辺の長さは正なので、符号の問題が発生しない — これがこの方法の最大の利点だ。$\pm$ を書いて「鋭角だから正」と論じる手間が省ける。

ただし鈍角($90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$)では、直角三角形が描けないので相互関係の式で処理する必要がある(そのとき $\cos$ は負)。

• 鋭角なら三角形を描く(速い・確実)
• 鈍角を含むなら相互関係 $+$ 符号の吟味(汎用)

$2$ つを使い分けられると、三角比の計算が一段速くなる。$\tan$ も $\frac{\sin }{\cos }=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$ と分数の割り算で出るが、三角形なら $\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ で一瞬だ。