数学I / 図形と計量

外接円の半径が一定のもとで周を最大にする

実戦編図形と計量正弦定理最大・最小凸性単元横断

問題

外接円の半径が $R$ の三角形について、周の長さ $a + b + c$ の最大値を $R$ で表せ。

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正弦定理で $a = 2 R sin A$ 。周 $= 2 R (sin A + sin B + sin C)$ 。 $sin$ は上に凸なので、角をそろえた正三角形で $sin$ の和が最大。

解答・解説

方針

正弦定理で辺を角の $sin$ に直す。周は $2 R (sin A + sin B + sin C)$ 。 $A + B + C = π$ のもとで $sin$ の和を最大にする(正三角形)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「外接円の半径 $R$ が一定」という条件は、正弦定理で辺を角に翻訳できる: $a = 2 R sin A$ など。

周は $a + b + c = 2 R (sin A + sin B + sin C)$ — 問題は「 $A + B + C = π$ のもとで $sin$ の和を最大にせよ」に変わった。

対称な条件で対称な量の最大 — 答えは正三角形( $A = B = C = \frac{π}{3}$ )と見当をつけ、それを和積の公式などで裏付ける。

定理正弦定理

a = 2 R sin A

。

sin A + sin B + sin C

(

A + B + C = π

)は正三角形で最大

\frac{3 3}{2}

① 辺を角に翻訳。 正弦定理より $a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C$ 。周は $a + b + c = 2 R (sin A + sin B + sin C) .$ ② $sin$ の和の最大。 $sin$ は $(0, π)$ で上に凸なので、和積などから角をそろえるほど和が大きく、最大は $A = B = C = \frac{π}{3}$ のとき $sin \frac{π}{3} \times 3 = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{3 3}{2}$ 。

③ 周の最大。 $a + b + c \leq 2 R \cdot \frac{3 3}{2} = 33 R,$ 等号は正三角形。よって周の最大値は $33 R$ 。

外接円の半径 R 一定で周 a+b+c が最大になるのは正三角形。最大 3√3 R

まとめ 正弦定理で周 $= 2 R (sin A + sin B + sin C)$ 、 $sin$ の和は正三角形で最大 $\frac{3 3}{2}$ 。周の最大 $33 R$ 。正弦定理と最大最小(凸性)の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ調整法で「 $R$ 一定の三角形の面積の最大」も解ける( $S = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ を均す)— 答えはやはり正三角形で $S = \frac{3 3}{4} R^{2}$ 。「周・面積・ $sin$ の和・ $cos$ の和…どの対称量も、円に内接する三角形では正三角形が王者」という風景が、1つの調整法から一望できる。

答

正弦定理 $a = 2 R sin A$ 等より周 $= 2 R (sin A + sin B + sin C)$ 。 $A + B + C = π$ で $sin A + sin B + sin C$ は正三角形 $A = B = C = \frac{π}{3}$ のとき最大 $\frac{3 3}{2}$ 。周の最大は $33 R$ 。

別解

「均すと増える」を和積で示す(調整法)。 最大が正三角形で起きることを、2角ずつ均す操作で裏付けられる。

$A \neq = B$ のとき、2角を平均 $\frac{A + B}{2}$ にそろえると( $C$ はそのまま、和は不変):

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} < 2 sin \frac{A + B}{2}$

( $A \neq = B$ なら $cos \frac{A - B}{2} < 1$ 。)つまり、そろっていない2角があれば、均すことで $sin$ の和は必ず増える。

増やせる余地がない=3角がすべて等しい配置だけが最大の候補で、 $A = B = C = \frac{π}{3}$ のとき和は $3 sin \frac{π}{3} = \frac{3 3}{2}$ 、周は $2 R \cdot \frac{3 3}{2} = 33 R$ 。

この「対称に均すと改善する」議論(スムージング)は、対称な最大最小問題の汎用の思考法 — 凸性(イェンセンの不等式)の初等版として、面積の最大などにもそのまま使える。

ポイント

正弦定理 $a = 2 R sin A$ で周 $= 2 R (sin A + sin B + sin C)$ 。
$sin$ の和は正三角形で最大 $\frac{3 3}{2}$ 。
周の最大 $33 R$ 。

よくある間違い

「対称だから正三角形で最大」を無証明で使う(和積の調整、または凸性の議論を添える)。
正弦定理の翻訳を $a = R sin A$ とする( $2 R$ )。
最大値を $sin$ の和( $\frac{3 3}{2}$ )のまま答えて、周 $33 R$ への換算( $\times 2 R$ )を忘れる。