数学I / 図形と計量

鈍角の三角比と相互関係

★★ 標準相互関係三角比の拡張

問題

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。 $cos θ = - \frac{1}{3}$ のとき、 $sin θ$ と $tan θ$ の値を求めよ。

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$cos$ の値1つから残り2つを出す。 $sin^{2} + cos^{2} = 1$ が橋渡し。2乗から戻すときの符号は、角の範囲が決める — この範囲で $sin$ はどちら向き(正か負か)?

解答・解説

$cos θ$ の値1つから、残り2つの三角比を求める。使う道具は相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ だ。

三角比の3つは、1つ決まれば残りもほぼ決まる。それをこの式が保証している。『ほぼ』と言ったのは符号が残るから。2乗から戻すとき $+$ か $-$ かで迷う。そこで効くのが角の範囲 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ だ。この範囲では $sin θ$ は負にならない。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角比は、1つ決まれば残りもほぼ決まる。それを保証するのが相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ だ。

「ほぼ」と言ったのは、2乗から戻すときに符号が残るからだ。

そこで角の範囲が効く。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $sin θ$ は常に $0$ 以上。この1行で符号が確定する。

cos θ = −1/3 なので θ は鈍角(x 座標が −1/3)

公式三角比の相互関係

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

、

tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}

まず $sin θ$ 。 相互関係より

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ = 1 - (- \frac{1}{3})^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

ここが分かれ道。2乗を外すと $sin θ = \pm \frac{2 2}{3}$ の2候補が出る。どちらかを決めるのが角の範囲だ。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ では半円の上半分しか動かないので $sin θ ≧ 0$ 。よって

$sin θ = \frac{8}{9} = \frac{2 2}{3}$

次に $tan θ$ 。 定義 $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ に戻る。分数で割るので、逆数を掛ける形に直す。

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{2 2}{3} \div (- \frac{1}{3}) = \frac{2 2}{3} \times (- 3) = - 22$

検算: $cos θ < 0$ だから $θ$ は鈍角。鈍角では $sin > 0$ 、 $cos < 0$ 、 $tan < 0$ のはず。結果はすべて合っている。答えを出したら符号の顔ぶれを一目見る習慣をつけたい。

発展 — 一歩先へ。 相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の正体は、単位円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ そのものだ。三角比を「円周上の点の座標」と見る目は、数学IIの三角関数(角が一周を超える世界)へそのままつながる。

「絶対値は計算、符号は絵」という分業は、そこでも変わらない基本作法になる。

答

$sin θ = \frac{2 2}{3}$ 、 $tan θ = - 22$

単位円(半径 $1$ の半円)の絵で解くと、符号が目で決まる。

$cos θ$ は円周上の点の $x$ 座標、 $sin θ$ は $y$ 座標だ。 $cos θ = - \frac{1}{3}$ だから、点は $x = - \frac{1}{3}$ の縦線と半円の交点。左半分(鈍角の領域)にある。

$y$ 座標は半円の上側だから正で、円の式から $y = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}$ 。

$tan θ$ は $\frac{y}{x}$ 。正 ÷ 負だから負で、 $- 22$ 。

「絶対値は計算、符号は絵」と分業すると、符号ミスがほぼ消える。鈍角の三角比が苦手なら、毎回この半円を描くことから始めるとよい。