数学I / 図形と計量

13-14-15 の三角形(面積・外接円・内接円)

★★★ 応用余弦定理正弦定理外接円内接円面積

問題

$△ A B C$ において、 $A B = 13$ 、 $B C = 14$ 、 $C A = 15$ である。

(1) $cos B$ と $sin B$ の値を求めよ。

(2) $△ A B C$ の面積 $S$ を求めよ。

(3) 外接円の半径 $R$ と内接円の半径 $r$ を求めよ。

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3辺さえあれば、 $cos$ → $sin$ → 面積 → 外接円 → 内接円と一本道で全部出せる。新しい技はない — 基本の道具を正しい順につなぐだけ。まず1つの角の $cos$ を辺から。

解答・解説

方針

3辺 $13$ 、 $14$ 、 $15$ だけから、 $cos$ ・ $sin$ ・面積・外接円・内接円と、この単元の主要な量をすべて求める総合問題だ。流れは一本道。

①余弦定理で $cos B$ (3辺があれば必ず出せる)。②相互関係で $sin B$ 。③面積公式。④正弦定理で外接円、面積の関係 $S = \frac{1}{2} r \times$ (周)で内接円。

新しい技はひとつもない。問われているのは、基本の道具を正しい順序でつなぐ構成力だ。ちなみに $13 - 14 - 15$ は面積が整数になる有名な三角形で、入試でも繰り返し登場する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 辺だけから全部を出す総合問題だ。新しい発想は要らない。ルートの接続がすべてになる。

道すじはこうだ。余弦定理( $cos$ )→ 相互関係( $sin$ )→ 面積 → 正弦定理( $R$ )→ $S = r s$ ( $r$ )。

どの量がどの道具から出るか、依存関係の地図を先に描く。あとは一本道で進む。

13-14-15 の三角形と内接円(r = 4)・外接円(R = 65/8)

公式余弦定理

cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}

、面積

S = \frac{1}{2} c a sin B

、外接円

\frac{b}{s i n B} = 2 R

、内接円

S = \frac{1}{2} r (a + b + c)

(1) 角 $B$ をはさむ2辺は $A B = 13$ 、 $B C = 14$ 、対辺は $C A = 15$ だ。余弦定理より

$cos B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - C A ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{169 + 196 - 225}{2 \times 13 \times 14} = \frac{140}{364} = \frac{5}{13}$

数が大きくて身構えるが、約分すると $\frac{5}{13}$ 。きれいな分数に落ち着く(そうなるように設計された三角形だ)。 $0^{\circ} < B < 18 0^{\circ}$ より $sin B > 0$ なので

$sin B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} = \frac{12}{13}$

$5$ 、 $12$ 、 $13$ 。直角三角形の有名な組がここで顔を出す。

(2) 面積公式より

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C sin B = \frac{1}{2} \times 13 \times 14 \times \frac{12}{13} = 7 \times 12 = 84$

$13$ が約分で消えて、面積は整数 $84$ になる。

(3) 外接円。 正弦定理は『角と対辺のペア』で動く。手元にあるのは角 $B$ なので、その対辺 $C A = 15$ と組ませる。 $\frac{C A}{sin B} = 2 R$ より

$R = \frac{C A}{2 sin B} = \frac{15}{2 \times \frac{12}{13}} = \frac{15 \times 13}{24} = \frac{65}{8}$

内接円。 面積を2通りに表す関係 $S = \frac{1}{2} r (A B + B C + C A)$ より

$84 = \frac{1}{2} r (13 + 14 + 15) = 21 r よって r = 4$

振り返り。 この一連の流れ『余弦定理 → $sin$ → 面積 → $R$ 、 $r$ 』は、3辺さえ与えられればどんな三角形でも実行できる万能の手順だ。逆に言えば、3辺が決まれば三角形のすべての量が決まる(合同条件の計算版)ということ。各定理は、その『決まっているはずの量』を取り出す手続きにすぎない。この見方ができると、図形と計量の全体が1枚の地図としてつながる。

発展 — 一歩先へ。 $13 - 14 - 15$ の三角形は、外接円半径 $R = \frac{65}{8}$ と内接円半径 $r = 4$ が両方きれいに出る、教科書の名物だ。

この $2$ つの円の中心、外心 $O$ と内心 $I$ の距離には、オイラーの定理という公式がある。 $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ だ。入れてみると $O I^{2} = (\frac{65}{8})^{2} - 2 \cdot \frac{65}{8} \cdot 4 = \frac{65}{64}$ となる。

この式から、どんな三角形でも $R \geq 2 r$ が従う(オイラーの不等式、等号は正三角形のとき)。実際 $\frac{65}{8} = 8.125$ は $2 r = 8$ をわずかに上回るだけ。 $R$ と $2 r$ がここまで近いことから、この三角形が正三角形にかなり近い形だと読み取れる。

答

(1) $cos B = \frac{5}{13}$ 、 $sin B = \frac{12}{13}$ (2) $S = 84$ (3) $R = \frac{65}{8}$ 、 $r = 4$

別解

別解 — 高さで $2$ つの直角三角形に割るルート(苦手な人向けの具体・視覚)。 $B C = 14$ を底辺に置き、頂点 $A$ から下ろした垂線の足を $H$ 、 $B H = x$ 、 $A H = h$ とおく。

$2$ つの直角三角形で三平方の定理を書く。 $A B = 13$ から $x^{2} + h^{2} = 169$ 、 $A C = 15$ から $(14 - x)^{2} + h^{2} = 225$ 。 $A C$ の式から $A B$ の式を引くと $196 - 28 x = 56$ 、つまり $x = 5$ 。すると $h^{2} = 169 - 25 = 144$ 、 $h = 12$ 。

これで $△ A B H$ は辺 $5, 12, 13$ 、 $△ A C H$ は辺 $9, 12, 15$ の直角三角形とわかる。直角三角形の比から直接

$cos B = \frac{B H}{A B} = \frac{5}{13}, sin B = \frac{A H}{A B} = \frac{12}{13}, S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84.$

外接円は $\frac{C A}{sin B} = 2 R$ から $R = \frac{15}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{65}{8}$ 、内接円は $S = \frac{1}{2} r (13 + 14 + 15)$ から $r = 4$ 。余弦定理から始める本解と、すべて一致する。

ポイント

3辺 → $cos$ → $sin$ → 面積 → $R, r$ という単元総まとめの計算リレー
$R$ は正弦定理( $2 R = \frac{辺}{sin ( 対角 )}$ )、 $r$ は $S = \frac{1}{2} r \times 周の長さ$
$13 - 14 - 15$ 三角形( $S = 84$ )は覚えておくと検算に使える有名例

よくある間違い

$R$ を求めるとき、 $sin B$ に対応する対辺を $C A = 15$ でなく $A B$ や $B C$ ととって値を誤る。
内接円の $S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$ で $\frac{1}{2}$ を落とし、 $r = 2$ としてしまう。
$cos, sin,$ 面積 $, R, r$ の依存の順を決めずに手を動かし、まだ出ていない量を使おうとして堂々巡りになる。