正四面体の外接球と内接球

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正四面体の外接球・内接球の中心は、対称性からどちらも同じ点(重心)。まず頂点から底面への高さ $h$ を求める。

頂点から底面(正三角形)へ下ろした垂線の足は、底面の重心。底面の外接円半径($\frac{a}{\sqrt{3}}$)と辺 $a$ から、三平方で $h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a$。

球の中心は高さ $h$ を内分する。$R$(中心→頂点)と $r$(中心→底面)は $R+r=h$ で、対称性から $R:r=3:1$。だから $R=\frac{3}{4}h$、$r=\frac{1}{4}h$。

① 高さを求める。 底面の正三角形の重心 $\mathrm{G}$ から頂点までは $\frac{a}{\sqrt{3}}$。頂点 $\mathrm{D}$ から $\mathrm{G}$ までの高さ $h$ は

$$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$$

② 外接球の半径 $R$。 中心 $\mathrm{O}$ は軸 $\mathrm{DG}$ 上にあり、頂点 $\mathrm{D}$ からも底面の頂点からも等距離 $R$。$\mathrm{O}$ から底面の頂点までを三平方で書くと、$\mathrm{OG}=h-R$、底面の頂点までの水平距離 $\frac{a}{\sqrt{3}}$ で

$$R^2=(h-R{)}^2+\frac{a^2}{3}$$

展開して $R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{3}$、$2hR=h^2+\frac{a^2}{3}$。$h^2=\frac{2a^2}{3}$ を代入すると $2hR=\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}=a^2$、よって

$$R=\frac{a^2}{2h}=\frac{a^2}{2\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a}=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}a$$

③ 内接球の半径 $r$。 対称性から中心は同じ $\mathrm{O}$ で、底面までの距離が $r=\mathrm{OG}=h-R$。

$$r=\frac{\sqrt{6}}{3}a-\frac{\sqrt{6}}{4}a=\frac{\sqrt{6}}{12}a$$

よって $R:r=3:1$。

まとめ:正四面体は「頂点→底面の重心」の軸で切ると、球の中心はこの軸上の $1$ 点。高さ $h$ を三平方で出し、$R$ は底面頂点との等距離条件、$r=h-R$ で求まる。$R:r=3:1$ は覚えておくと検算に使える。

発展 — 一歩先へ。 正四面体の $R:r=3:1$ は、$n$ 次元の正単体では $R:r=n:1$ になる($2$ 次元の正三角形は $2:1$)。中心が高さを $n:1$ に分ける、という次元によらない美しい規則。立方体に埋め込む(別解)と、正四面体の対称性が立方体の対称性の一部として見え、計算が格段に楽になる。

別解

別解 — 立方体に埋め込んで座標で出す(得意な人向けの高い視点)。 正四面体は、立方体の $4$ つの頂点(交互の頂点)を結んでできる。$1$ 辺 $2$ の立方体 $\{-1,1{\}}^3$ で、頂点 $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$ が正四面体をなす($1$ 辺 $=2\sqrt{2}$)。

この $4$ 頂点の重心は原点 $(0,0,0)$。これが外接球・内接球の共通の中心だ。

外接球の半径は、中心(原点)から頂点までの距離 $R=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$($1$ 辺 $2\sqrt{2}$ に対して)。$1$ 辺を $a$ に直すと $R=\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}a$。

内接球の半径は、原点から面までの距離。面(たとえば $3$ 点を通る平面)$x+y+z=-1$ までの距離 $\frac{|0-(-1)|}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。$a$ に直すと $r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$。

高さを内分する(本解)代わりに、立方体の座標に埋め込むと、中心が原点・頂点が $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ とすっきりし、$R,r$ が距離の計算だけで出る。$R:r=\sqrt{3}:\frac{1}{\sqrt{3}}=3:1$ も一目だ。