正四面体の対辺の中点を結ぶ線分の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間の長さは、うまい平面(断面)を切り出して平面図形の計算に落とす。

中点 $\mathrm{M}$($\mathrm{AB}$ 上)から $\mathrm{C},\mathrm{D}$ への距離は、どちらも正三角形の中線 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ — つまり三角形 $\mathrm{MCD}$ は二等辺だ。

二等辺三角形では、頂点から底辺の中点 $\mathrm{N}$ への線分が垂直に立つ。直角三角形 $\mathrm{MNC}$ で三平方の定理を使えば $\mathrm{MN}$ が出る。

① $\mathrm{MC}$ の長さ。 $\mathrm{M}$ は正三角形 $\mathrm{ABC}$($1$ 辺 $a$)の辺 $\mathrm{AB}$ の中点。$\mathrm{C}$ から $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ への距離は中線の長さ $\mathrm{MC}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。同様に $\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

② 二等辺三角形で三平方。 三角形 $\mathrm{MCD}$ は $\mathrm{MC}=\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$、底辺 $\mathrm{CD}=a$ の二等辺三角形。$\mathrm{N}$ は $\mathrm{CD}$ の中点で $\mathrm{MN}\perp \mathrm{CD}$、$\mathrm{NC}=\frac{a}{2}$。三平方で $${\mathrm{MN}}^2={\mathrm{MC}}^2-{\mathrm{NC}}^2=\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^2.$$ ③ 結論。 $$\mathrm{MN}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$$

まとめ 対辺の中点間の距離は、$\mathrm{MC}=\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ の二等辺三角形で三平方して $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。空間図形を平面に帰着して計量する。図形と計量(空間・三平方)の融合。

発展 — 一歩先へ。 立方体埋め込みで見えた「対辺の中点を結ぶ3本は互いに直交・等長」から、この3本の交点(すべての中点=重心)を原点に、3本を座標軸にとれる — 正四面体の対称性が立方体の対称性の一部だという事実は、正四面体の外接球・体積・二面角の計算をすべて座標の暗算に変える万能の入り口だ。

別解

立方体に埋め込む(正四面体の万能座標)。 正四面体は、立方体の頂点を1つおきに選ぶと現れる。1辺1の立方体で

$$\mathrm{A}(0,0,0),\mathrm{B}(1,1,0),\mathrm{C}(1,0,1),\mathrm{D}(0,1,1)$$

はどの2点間も $\sqrt{2}$ — 1辺 $\sqrt{2}$ の正四面体だ。中点は $\mathrm{M}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$、$\mathrm{N}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$ で

$$\mathrm{MN}=1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot 1=\frac{a}{\sqrt{2}}(a=\sqrt{2})$$

比率でいえば $\mathrm{MN}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ — 本解と一致する。

しかもこの座標では、$\mathrm{MN}$ が立方体の縦の辺と平行なことが見える: 対辺の中点を結ぶ3本の線分は、立方体の3方向の辺に対応して互いに直交し長さも等しい。断面の二等辺三角形(本解)は1本を測る顕微鏡、立方体埋め込みは3本まとめての航空写真だ。