角の二等分線と中線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二等分線 $AD$ と中線 $AM$ が同居している。だが使う道具は別だ。

最初にそう仕分けるのが発想の核になる。

二等分線は「面積の分割」で攻める。中線は「$△ABM$ で余弦定理」だ。その $\cos B$ は元の三角形から先に求めておく。

線分の種類ごとに定跡ルートを割り当ててから、順に処理する。

(1) 余弦定理より

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 120^{\circ }=16+4-2\times 4\times 2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=20+8=28$$

よって $BC=2\sqrt{7}$ だ。$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ の負号と、その前の $-2bc$ の負号が打ち消し合って足し算になる。鈍角の余弦定理では2乗の和より大きくなる($28>20$)ことを検算代わりにするとよい。

(2) $AD$ は $\angle A=120^{\circ }$ を二等分するので $\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ }$ だ。面積の関係 $△ABC=△ABD+△ACD$ より

$$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot AD\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot AD\sin 60^{\circ }$$

$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$$2\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}AD\text{よって}AD=\frac{4}{3}$$

(3) 中線 $AM$ には面積の関係が効かない($AM$ は角を二等分しないので $\sin$ が共通にならない)。代わりに、角 $B$ を経由する。まず $△ABC$ で $\cos B$ を求める。

$$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+28-4}{2\times 4\times 2\sqrt{7}}=\frac{40}{16\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$$

この角 $B$ は、小さい三角形 $△ABM$ の角でもある。ここが乗りかえポイントだ。$M$ は $BC$ の中点なので $BM=\sqrt{7}$。$△ABM$ で余弦定理より

$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cos B=16+7-2\times 4\times \sqrt{7}\times \frac{5}{2\sqrt{7}}=23-20=3$$

$\sqrt{7}$ どうしが約分されてきれいに消える。よって $AM=\sqrt{3}$ だ。

(検算: 中線定理 $A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$ に代入すると $16+4=2(3+7)=20$ となり、確かに成り立つ。)

振り返り。 『二等分線なら面積分割、中線なら余弦定理2回(共有角を経由)』という道具の対応が今回の収穫だ。どちらの解法も、カギは2つの三角形が何を共有しているかに注目すること。二等分線では等しい角($60^{\circ }$)と共通の $\sin$、中線では共通の角 $B$。図形問題で複数の三角形が現れたら、まず共有物を探す癖をつけたい。

発展 — 一歩先へ。 $A$ から辺 $BC$ 上の点へ引いた線分(チェバ線と呼ぶ)の長さには、$1$ つの万能公式がある。スチュワートの定理だ。

$BC=a$ を点 $X$ が $BX=m$、$XC=n$ に分けるとき、線分 $AX=d$ について $b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$ が成り立つ($b=CA$、$c=AB$)。

中点なら $m=n=\frac{a}{2}$ を入れると中線定理に、二等分線なら $m:n=c:b$ を入れると二等分線の長さの公式になる。今回の中線 $AM$ も二等分線 $AD$ も、じつは同じ一本の定理の特別な場合だったわけだ。線分の種類ごとに別々の道具を使ったが、上から見ると一つの式に収まっている。

別解

別解 — 座標を置いて $3$ つとも距離計算で片づけるルート(得意な人向けの視点)。 頂点 $A$ を原点、辺 $AB$ を $x$ 軸に置く。

$A=(0,0)$、$B=(4,0)$。$\angle A=120^{\circ }$、$AC=2$ だから $C=(2\cos 120^{\circ },2\sin 120^{\circ })=(-1,\sqrt{3})$。

まず $BC=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(0-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{25+3}=2\sqrt{7}$。

$D$ は二等分線と $BC$ の交点。二等分線は対辺を隣り合う辺の比に分けるので $BD:DC=AB:AC=2:1$、よって

$$D=B+\frac{2}{3}(C-B)=\left(\frac{2}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),AD=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{12}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}.$$

中点は $M=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で、$AM=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$。面積分割と $\cos B$ を使い分ける本解と、$3$ つとも同じ値になる。