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数学I

数と式 式の展開・因数分解

整式の計算、展開公式、因数分解の各手法を扱います。以降のすべての単元の計算基盤になります。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 展開の基本公式
  2. 共通因数でくくる因数分解
  3. 整式の整理と次数・定数項
  4. 整式の加法・減法
  5. 整式の乗法
  6. 工夫して展開する
  7. 公式による因数分解
  8. たすき掛けによる因数分解
  9. 複2次式の因数分解
  10. 文字が2種類ある式の因数分解
  11. 対称式・交代式の因数分解
  12. 展開・因数分解を利用した証明

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 整式の整理と降べきの順
  2. 整式の加法・減法(式のまま整理してから代入)
  3. 展開公式の運用(2文字・係数つき)
  4. 工夫する展開(かけ合わせる順序)
  5. 工夫する展開(3項の平方・公式の繰り返し)
  6. 共通因数でくくる因数分解(2段階・符号の調整)
  7. 置き換えを利用する因数分解
  8. たすき掛けによる因数分解
  9. 因数分解の形から係数を決定する
  10. 複2次式の因数分解
  11. 2種類の文字を含む式の因数分解(最低次の文字で整理)
  12. 対称式の因数分解(1つの文字について整理)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 整式の整理と加法・減法の応用
  2. 組み合わせと置き換えで工夫する展開
  3. たすき掛けによる因数分解の応用
  4. 複2次式の因数分解(置き換えと平方の差)
  5. 符号の統一と置き換え・共通因数
  6. 最低次の文字で整理する因数分解
  7. 展開を用いた等式の証明と平方の和への応用
  8. 対称式・交代式の因数分解

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 交代式の因数分解(次数と対称性で決める)
  2. 高次式の完全な因数分解(平方の差を二段階)
  3. 対称式の因数分解(因数定理で当てる)
  4. 2種類の文字を含む2次式の因数分解
  5. 連続する積に1を足すと平方になる
  6. 複2次式の因数分解(平方の差に整える)
  7. 多変数の恒等式(1文字で整理して係数比較)
  8. 2変数2次式の因数分解(最高次を先に割る)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. ソフィー・ジェルマンの恒等式(因数分解と素数判定)
  2. 3変数の3乗和の因数分解と応用
  3. 複2次式の因数分解(平方の差に整える)
  4. 対称式の値(x+1/x から高次へ)
  5. 交代式の因数分解(次数と対称性で決める)
  6. 部分分数分解(係数を恒等式で決める)
  7. n³−n が6の倍数(因数分解と整数)
  8. 3乗を含む交代式の因数分解

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. ニュートンの公式による4乗和
  2. 相反する量の5乗和
  3. 3文字の3乗の恒等式
  4. 条件つき2乗和の最小
  5. 絶対値の和の最小値
  6. 重根をもつ式で割った余り
  7. ネスビットの不等式
  8. 無理数を解にもつ整数係数方程式

数と式の解説(つまずきやすい点と学習の順序)