数と式 — 式の展開・因数分解

次の式を展開せよ。

(1) $(x+3{)}^2$

(2) $(2x-5)(2x+5)$

(3) $(x+2)(x-7)$

次の式を因数分解せよ。

(1) $3x^2+6x$

(2) $2a^{2}b-4a{b}^2+8ab$

次の問いに答えよ。

(1) 整式 $5x-3x^2+4-2x+x^2-9$ の同類項をまとめて降べきの順に整理し、その次数と定数項を答えよ。

(2) 整式 $x^2-3xy+2y^2-x+4y-7$ を、$x$ に着目して降べきの順に整理し、そのときの次数と定数項を答えよ。

$A=2x^2-3x+1$、$B=x^2+4x-5$ のとき、次の式を計算せよ。

(1) $A+B$

(2) $2A-3B$

次の式を計算せよ。

(1) $-2x(x^2-3x+5)$

(2) $(3x+2)(2x-5)$

(3) $(4x-3y)(2x+y)$

次の式を展開せよ。

(1) $(x+y+2)(x+y-2)$

(2) $(x+1)(x-1)(x^2+1)$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2+10x+25$

(2) $9a^2-16b^2$

(3) $x^2-3x-18$

次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^2+7x+3$

(2) $6x^2-7x-3$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4-5x^2+4$

(2) $x^4-16$

次の式を因数分解せよ。

(1) $ab+2a+b+2$

(2) $x^2+xy+2x+y+1$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2+2xy+y^2-x-y$

(2) $x^2-y^2-x+y$

$n$ を整数とする。連続する2つの偶数 $2n$、$2n+2$ の積に $1$ を加えると、奇数の2乗になることを証明せよ。

整式 $A=2x^2-3xy+5y^2-x^2+4xy-2y^2+6x-8$ について、次の問いに答えよ。

(1) 同類項をまとめて $A$ を簡単にせよ。

(2) $A$ を $x$ に着目して降べきの順に整理せよ。また、そのときの $A$ の次数と定数項を答えよ。

$A=2x^2-3x+4$、$B=x^2+2x-3$ のとき、$3A-2B-(A-3B)$ を計算せよ。

次の式を展開せよ。

(1) $(3x-2y{)}^2$

(2) $(4a+5b)(4a-5b)$

(3) $(2x+3y)(3x-4y)$

$(x+1)(x+3)(x-2)(x-4)$ を展開せよ。

次の式を展開せよ。

(1) $(a+2b-3c{)}^2$

(2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

次の式を因数分解せよ。

(1) $4x^{2}y-24xy+36y$

(2) $(a-3b)x+(3b-a)y$

次の式を因数分解せよ。

(1) $(x+2y{)}^2-6(x+2y)+8$

(2) $9a^2-(b-c{)}^2$

次の式を因数分解せよ。

(1) $3x^2+10x+8$

(2) $6x^2-7xy-5y^2$

$x$ についての2次式 $2x^2+ax-15$ を因数分解すると $(x+3)(2x+b)$ になるという。定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4-13x^2+36$

(2) $x^4+3x^2+4$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2+xy+4x+3y+3$

(2) $x^2+3xy+2y^2+4x+7y+3$

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz$ を因数分解せよ。

(1) 整式 $P=3x^{2}y-2x{y}^2+x^2-5xy+4y^2-x+2y-7$ を、$x$ に着目して降べきの順に整理せよ。また、そのときの $x$ についての次数と定数項を答えよ。

(2) 2つの整式 $A$、$B$ が

$$A+2B=7x^3-x^2+8x-5,2A-B=4x^3+3x^2+x+5$$

を満たすとき、$A$、$B$ を求めよ。

次の式を展開せよ。

(1) $(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)$

(2) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$

次の式を因数分解せよ。

(1) $12x^2-8xy-15y^2$

(2) $2x^2+5xy+2y^2+x+5y-3$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4-13x^2+36$

(2) $x^4-7x^2+9$

次の式を因数分解せよ。

(1) $(x-2y{)}^2+6(2y-x)+8$

(2) $3(a-b)x^2+12(b-a)y^2$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2+xy+x+3y-6$

(2) $a^2-2ab+b^2-ca+bc$

(1) 次の等式が常に成り立つことを、左辺と右辺をそれぞれ展開して証明せよ。

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$$

(2) $29=5^2+2^2$、$53=7^2+2^2$ である。(1)の等式を利用して、積 $29\times 53=1537$ を「2つの自然数の2乗の和」の形で2通りに表せ。

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^4+x^2{y}^2+y^4$

(2) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

次の式を因数分解せよ。

$$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$$

$x^8+x^4+1$ を有理数の範囲で因数分解せよ。

次の式を因数分解せよ。

$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$$

次の式を因数分解せよ。

$$x^2+3xy+2y^2+2x+3y+1$$

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$ は、ある整式の $2$ 乗であることを示し、その整式を求めよ。

$x^4+x^2+25$ を因数分解せよ。

次の等式を証明せよ。

$$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$$

次の式を因数分解せよ。

$$6x^2+xy-12y^2+4x+23y-10$$

(1) $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ が成り立つことを示せ。

(2) これを用いて、$2$ 以上の整数 $n$ に対し $n^4+4$ は素数でない(合成数である)ことを示せ。

(1) $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を示せ。

(2) $x+y+z=0$ のとき $x^3+y^3+z^3=3xyz$ が成り立つことを示せ。

$x^4+x^2+1$ を因数分解せよ。

$t=x+\frac{1}{x}$ とする。(1) $x^3+\frac{1}{x^3}$ を $t$ で表せ。

(2) $x^5+\frac{1}{x^5}$ を $t$ で表せ。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解せよ。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $A,B,C$ を定めよ。

すべての整数 $n$ に対し、$n^3-n$ が $6$ の倍数であることを示せ。

$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$ を因数分解せよ。

実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$、$x^2+y^2+z^2=3$、$x^3+y^3+z^3=4$ を満たすとき、$x^4+y^4+z^4$ の値を求めよ。

実数 $x(x\ne 0)$ が $x+\frac{1}{x}=3$ を満たすとき、$x^5+\frac{1}{x^5}$ の値を求めよ。

次の等式を証明せよ。

$$(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$$

正の実数 $a,b$ が $a+b=1$ を満たすとき、${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{b}\right)}^2$ の最小値を求めよ。

実数 $x$ に対し $f(x)=\sum _{k=1}^{100}|x-k|=|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-100|$ とする。$f(x)$ の最小値を求めよ。

$x^{10}$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りを求めよ。

正の実数 $a,b,c$ に対して、次の不等式を証明せよ。

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもつ、整数を係数とする最も次数の低い方程式を1つ求めよ。