数学I / 数と式

共通因数でくくる因数分解

★ 基礎因数分解共通因数

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $3 x^{2} + 6 x$

(2) $2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 ab$

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まず各項に共通するものを探す。(1)は係数と文字の両方に共通なものがある。(2)は3項すべてに共通する『係数の最大公約数 × 共通の文字』を前に出す。くくったあと、カッコの中を展開して元に戻るか確かめよう。

解答・解説

因数分解の第一歩は、いつも「共通因数はないか?」を探すことだ。全部の項に共通してかけられている数や文字を見つけて、前に出してくくる。

(1)は $3 x^{2}$ と $6 x$ に共通する $3 x$ 。(2)は各項に共通する $2 ab$ 。くくり出したら、展開して元に戻るか確かめよう。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解と言われたら、公式より先に「全部の項に共通してかかっているものはないか」と目を走らせる。

共通因数のくくり出しは、すべての因数分解の入口 — これを飛ばすと後の公式も効かない。

(1)は $3 x$ 、(2)は $2 ab$ が全項に共通。くくり出したら、展開して元に戻るかの確認までがワンセットだ。

公式共通因数でくくる:各項に共通してかかっている文字・数を前に出す

(1) $3 x^{2}$ と $6 x$ に共通してかけられているのは $3 x$ 。これを前に出してくくる。

$3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$

くくった後、 $3 x \times x = 3 x^{2}$ 、 $3 x \times 2 = 6 x$ と、展開して元に戻ることを確かめるとよい。

3x²+6x = たて 3x × よこ(x+2) = 3x(x+2)

(2) 各項 $2 a^{2} b$ 、 $- 4 a b^{2}$ 、 $8 ab$ を見る。係数の共通は2(最大公約数)、文字の共通は $a$ と $b$ 。だから共通因数は $2 ab$ 。

$2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 ab = 2 ab (a - 2 b + 4)$

まとめ:カッコの中は、各項を $2 ab$ で割った $a$ 、 $- 2 b$ 、 $4$ 。最後の $8 ab \div 2 ab = 4$ を、 $4 ab$ などと間違えないように。

発展 — 一歩先へ。 「くくり出したら展開して戻す」検算は、 $10$ 秒で済むのに、項の落とし・割り算ミスをほぼ全部捕まえる。因数分解は答えの検算が展開という機械作業でできる、数学でも珍しく答え合わせ付きの計算 — この安心感は複雑な因数分解ほど効いてくる。

共通因数くくりは、この後のすべての因数分解の「第 $0$ 手」。たすき掛けの前に $2$ でくくる、公式を使う前に $x$ でくくる — 「まず共通因数」の反射は、式が複雑になる数IIでも変わらず最初の一手である。

答

(1) $3 x (x + 2)$ (2) $2 ab (a - 2 b + 4)$

共通因数を見落とさない・取り切るための、分解表の書き方を紹介する。

各項を、数と文字の積にバラして並べる。(2)なら

縦に見比べて、全行にいる部品に印をつける — $2$ が $1$ 個、 $a$ が $1$ 個、 $b$ が $1$ 個。共通因数は $2 ab$ だ。

くくった後の中身は、各行から印の部品を抜いた残り: $a, - 2 b, + 4$ 。

$2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 ab = 2 ab (a - 2 b + 4)$

この表のご利益は「取り切ったか」が見えること — たとえば $2 b (a^{2} - 2 ab + 4 a)$ で止めると、残りの全項にまだ $a$ がいるのが表で一目になる。慣れれば頭の中でやる作業だが、迷ったら紙に表を書く — 確実さは計算の速さに勝る。