無理数を解にもつ整数係数方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無理数を解にもつ整数係数方程式は、「根号を含む項を片側に集めて2乗する」操作を、根号が全部消えるまで繰り返して作る。

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を2乗すると、$2\sqrt{6}$ という新しい根号が出る。それだけを孤立させて、もう一度2乗する。独立な根号2つを消すには2回の2乗が要るから、次数は $2\times 2=4$ になる見込みだ。

① 1回目の2乗。

$$x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$$

② 根号を分離する。 $\sqrt{6}$ を含む項を片側に集める:

$$x^2-5=2\sqrt{6}$$

③ 2回目の2乗。 両辺を2乗して根号を消す:

$$(x^2-5{)}^2=(2\sqrt{6}{)}^2=24$$ $$x^4-10x^2+25=24⟺x^4-10x^2+1=0$$

これは整数係数で、$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもつ。$\sqrt{2},\sqrt{3}$ という独立な2つの無理数を含むため、より低い次数の整数係数方程式では表せず、4次が最小である。

まとめ: 根号を1種類ずつ孤立させて2乗する。2乗のたびに次数が倍になり、独立な根号2つで4次に到達する。得られた $x^4-10x^2+1$ は $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$ の4つすべてを解にもつ。

発展 — 一歩先へ。 整数係数の方程式は、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもつなら、符号を変えた「4兄弟」$\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$ を全員解にもってしまう(2乗の操作が符号の区別を消すから)。この「共役はセットで現れる」という現象は、大学で学ぶ体とガロア理論の入り口になっている。

別解

4兄弟をまとめて掛ける(答えの構造が見えるルート)。 逆転の発想で、解にしたい数の「仲間」を先に全員そろえ、積を作ってしまう。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ の符号違い4つ $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$ を解にもつ4次式は

$$\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

前の2つと後ろの2つを、それぞれ「和と差の積」でまとめる:

$$\left((x-\sqrt{2}{)}^2-3\right)\left((x+\sqrt{2}{)}^2-3\right)=\left(x^2-2\sqrt{2}x-1\right)\left(x^2+2\sqrt{2}x-1\right)$$

もう一度、和と差の積($x^2-1$ を共通部分とみる):

$$(x^2-1{)}^2-(2\sqrt{2}x{)}^2=x^4-2x^2+1-8x^2=x^4-10x^2+1$$

根号が2段階できれいに消え、整数係数になった。「2乗を繰り返す」本解と同じことを、因数の側から見たルートだ。なぜ4次で、なぜ他の3つも解になるのか。答えの構造が、この積の形にすべて書いてある。