数学I / 数と式

整式の加法・減法(式のまま整理してから代入)

★★ 標準整式加法・減法

問題

$A = 2 x^{2} - 3 x + 4$ 、 $B = x^{2} + 2 x - 3$ のとき、 $3 A - 2 B - (A - 3 B)$ を計算せよ。

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先に $A$ ・ $B$ を代入せず、文字 $A$ ・ $B$ のまま式を整理するのが賢い。 $- (A - 3 B)$ のカッコを外すとき符号がどう変わるかに注意。まとめてから代入。

解答・解説

$A$ や $B$ に式を代入する前に、まず式のまま整理するとラクだ。

カッコを外して同類項( $A$ どうし、 $B$ どうし)をまとめると、 $3 A - 2 B - (A - 3 B)$ が $2 A + B$ という短い式になる。

そのあとで $A$ 、 $B$ の中身を代入する。先に整理しておくと、代入する回数が減ってミスも減る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $A$ と $B$ の中身をすぐ代入したくなる。でも、それは最後の手段だ。

先に代入すると文字が増えて、式がふくらむ。まず $A$ 、 $B$ を文字のまま整理して、式を短くする。

$3 A - 2 B - (A - 3 B)$ は、 $A$ どうし・ $B$ どうしをまとめれば $2 A + B$ まで縮む。代入はそれからでいい。

まず、 $A$ 、 $B$ を文字のままにして式を整理する。 $- (A - 3 B)$ のカッコを外すと符号が変わって $- A + 3 B$ 。

$3 A - 2 B - (A - 3 B) = 3 A - 2 B - A + 3 B = 2 A + B$

ここまで来てから、 $A$ 、 $B$ の中身を代入する。

$2 A + B = 2 (2 x^{2} - 3 x + 4) + (x^{2} + 2 x - 3) = 4 x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 2 x - 3 = 5 x^{2} - 4 x + 5$

最初から代入するより、先に $2 A + B$ まで整理しておくほうが、あつかう式が短くなってミスしにくい。

発展 — 一歩先へ。 「式を1つの数のように扱う」感覚は、これから先の武器になる。 $A$ や $B$ を数のように足し引きできたのは、整式の和・差・定数倍がまた整式になるからだ。

数学IIで整式の割り算や恒等式を学ぶと、この「式そのものを計算の対象にする」見方が本格的に活躍する。

答

$5 x^{2} - 4 x + 5$

慣れてきたら、「係数だけ」を取り出して計算する方法もある。

$x^{2}$ 、 $x$ 、数の順に係数を並べると、 $A$ は $(2, - 3, 4)$ 、 $B$ は $(1, 2, - 3)$ という数の組になる。

$2 A + B$ はこの組の足し算で計算できる。 $(4, - 6, 8) + (1, 2, - 3) = (5, - 4, 5)$ 。

つまり答えは $5 x^{2} - 4 x + 5$ だ。文字を書かない分だけ速く、位取りの筆算と同じ感覚で進められる。ただし、並べる順番(次数の位置)は最初に固定しておくこと。